ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) верно равенство:

1) \(\sqrt[4]{a b^5} = a b \sqrt[4]{a b}\);

2) \(\sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b}\);

3) \(\sqrt[4]{a b} = -a \sqrt[4]{b}\).

1) При \( \sqrt[4]{a^5 b^5} = a b \sqrt[4]{a b} \)
Выражение имеет смысл при \( a^5 b^5 \ge 0 \), то есть \( a b \ge 0 \). Правая часть положительна при \( a b \ge 0 \).
Ответ: \( a, b \in [0; +\infty) \) или \( a, b \in (-\infty; 0] \).

2) При \( \sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b} \)
Выражение имеет смысл при \( a^4 b \ge 0 \), то есть \( b \ge 0 \). Правая часть положительна при \( a \ge 0 \).
Ответ: \( b = 0, a \in \mathbb{R} \) или \( a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty) \).

3) При \( \sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b} \)
Выражение имеет смысл при \( a^4 b \ge 0 \), то есть \( b \ge 0 \). Правая часть положительна при \( -a \ge 0 \), то есть \( a \le 0 \).
Ответ: \( b = 0, a \in \mathbb{R} \) или \( a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty) \).

1) Рассмотрим равенство \( \sqrt[4]{a b^5} = a b \sqrt[4]{a b} \).
Левую часть можно переписать так:
\( \sqrt[4]{a b^5} = \sqrt[4]{a b \cdot b^4} = \sqrt[4]{a b} \cdot \sqrt[4]{b^4} = \sqrt[4]{a b} \cdot b \).
Равенство тогда будет:
\( \sqrt[4]{a b} \cdot b = a b \sqrt[4]{a b} \).
Если \( \sqrt[4]{a b} \neq 0 \) и \( b \neq 0 \), то можно сократить на \( b \sqrt[4]{a b} \), получим:
\( 1 = a \), то есть \( a = 1 \).
Но в условии рассматривается область определения корня, значит, \( a b \ge 0 \).
Если \( a = 1 \), то \( b \ge 0 \).
Если \( b = 0 \), равенство верно при любом \( a \).
Если \( a \neq 1 \), равенство возможно только при \( b = 0 \).
Таким образом, область определения и решения:
\( a, b \in [0; +\infty) \) или \( a, b \in (-\infty; 0] \).

2) Рассмотрим равенство \( \sqrt[4]{a^4 b} = a \sqrt[4]{b} \).
Левая часть равна \( \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a| \sqrt[4]{b} \).
Равенство становится:
\( |a| \sqrt[4]{b} = a \sqrt[4]{b} \).
Если \( \sqrt[4]{b} \neq 0 \), то сокращаем:
\( |a| = a \), значит \( a \ge 0 \).
Область определения корня: \( a^4 b \ge 0 \), так как \( a^4 \ge 0 \), то \( b \ge 0 \).
Если \( b = 0 \), то равенство верно при любом \( a \).
Ответ:
\( b = 0, a \in \mathbb{R} \) или \( a \in [0; +\infty), b \in (0; +\infty) \).

3) Рассмотрим равенство \( \sqrt[4]{a^4 b} = -a \sqrt[4]{b} \).
Левая часть равна \( |a| \sqrt[4]{b} \).
Равенство:
\( |a| \sqrt[4]{b} = -a \sqrt[4]{b} \).
Если \( \sqrt[4]{b} \neq 0 \), то сокращаем:
\( |a| = -a \), значит \( a \le 0 \).
Область определения: \( a^4 b \ge 0 \), то есть \( b \ge 0 \).
Если \( b = 0 \), равенство верно при любом \( a \).
Ответ:
\( b = 0, a \in \mathbb{R} \) или \( a \in (-\infty; 0], b \in (0; +\infty) \).