ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt[6]{(\sqrt{6} — 2)^3}\);

2) \(\sqrt[4]{(1 — \sqrt{2})^2}\);

3) \(\sqrt[3]{(\sqrt{2} — \sqrt{3})^3}\);

4) \(\sqrt[6]{(\sqrt{3} — 2)^2}\).

1) \(\sqrt[6]{(\sqrt{6} — 2)^3} = (\sqrt{6} — 2)^{\frac{3}{6}} = (\sqrt{6} — 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sqrt{6} — 2}\).

2) \(\sqrt[4]{(1 — \sqrt{2})^2} = (1 — \sqrt{2})^{\frac{2}{4}} = (1 — \sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{|1 — \sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2} — 1}\).

3) \(\sqrt[3]{(\sqrt{2} — \sqrt{3})^3} = (\sqrt{2} — \sqrt{3})^{\frac{3}{3}} = \sqrt{2} — \sqrt{3}\).

4) \(\sqrt[6]{(\sqrt{3} — 2)^2} = (\sqrt{3} — 2)^{\frac{2}{6}} = (\sqrt{3} — 2)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} — 2} = \sqrt[3]{2 — \sqrt{3}}\).

1) В выражении \(\sqrt[6]{(\sqrt{6} — 2)^3}\) сначала перепишем корень в виде степени: \(\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}\). Значит,
\(\sqrt[6]{(\sqrt{6} — 2)^3} = \left((\sqrt{6} — 2)^3\right)^{\frac{1}{6}}\).

2) При возведении степени в степень показатели умножаются, поэтому
\(\left((\sqrt{6} — 2)^3\right)^{\frac{1}{6}} = (\sqrt{6} — 2)^{3 \cdot \frac{1}{6}} = (\sqrt{6} — 2)^{\frac{3}{6}}\).

3) Упростим дробь \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), тогда
\((\sqrt{6} — 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sqrt{6} — 2}\).

4) Во втором выражении \(\sqrt[4]{(1 — \sqrt{2})^2}\) перепишем корень как степень:
\(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\), значит
\(\sqrt[4]{(1 — \sqrt{2})^2} = \left((1 — \sqrt{2})^2\right)^{\frac{1}{4}} = (1 — \sqrt{2})^{2 \cdot \frac{1}{4}} = (1 — \sqrt{2})^{\frac{2}{4}}\).

5) Сократим дробь \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), тогда
\((1 — \sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1 — \sqrt{2}}\).

6) Поскольку \(1 — \sqrt{2} < 0\), возьмём модуль под корнем, чтобы получить положительное число:
\(\sqrt{|1 — \sqrt{2}|} = \sqrt{\sqrt{2} — 1}\).

7) В третьем выражении \(\sqrt[3]{(\sqrt{2} — \sqrt{3})^3}\) перепишем корень через степень:
\(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\), значит
\(\sqrt[3]{(\sqrt{2} — \sqrt{3})^3} = \left((\sqrt{2} — \sqrt{3})^3\right)^{\frac{1}{3}} = (\sqrt{2} — \sqrt{3})^{3 \cdot \frac{1}{3}} = (\sqrt{2} — \sqrt{3})^1 = \sqrt{2} — \sqrt{3}\).

8) В четвёртом выражении \(\sqrt[6]{(\sqrt{3} — 2)^2}\) перепишем корень через степень:
\(\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}\), значит
\(\sqrt[6]{(\sqrt{3} — 2)^2} = \left((\sqrt{3} — 2)^2\right)^{\frac{1}{6}} = (\sqrt{3} — 2)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = (\sqrt{3} — 2)^{\frac{2}{6}}\).

9) Сократим дробь \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), тогда
\((\sqrt{3} — 2)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} — 2}\).

10) Так как \(\sqrt{3} — 2 < 0\), можно переписать это как
\(\sqrt[3]{\sqrt{3} — 2} = \sqrt[3]{-(2 — \sqrt{3})} = -\sqrt[3]{2 — \sqrt{3}}\).