ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt[3]{(\sqrt{5} — 2)^4}\);

2) \(\sqrt[9]{(\sqrt{8} — \sqrt{5})^2}\);

3) \(\sqrt[3]{(\sqrt{11} — 3)^8}\);

4) \(\sqrt[5]{(\sqrt{7} — 3)^3}\).

1) \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4} = \sqrt[4]{(\sqrt{5} — 2)^2} = \sqrt{|\sqrt{5} — 2|} = \sqrt{5} — 2\)

2) \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2} = \sqrt[5]{|\sqrt{3} — \sqrt{5}|} = \sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\)

3) \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3} = \sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\)

4) \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^3} = \sqrt[5]{\sqrt{7} — 3}\)

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4}\). Сначала заметим, что степень под корнем — это четвертая степень, а сам корень восьмой. Воспользуемся свойством степеней: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). Значит, \((\sqrt{5} — 2)^4\) под восьмым корнем даст \((\sqrt{5} — 2)^{\frac{4}{8}} = (\sqrt{5} — 2)^{\frac{1}{2}}\).

Далее, \((\sqrt{5} — 2)^{\frac{1}{2}}\) — это то же самое, что \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\). Но так как \(\sqrt{5} > 2\), выражение под корнем положительно, и модуль не нужен. Поэтому получаем \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\). Но в исходном решении также учитывается, что \(\sqrt{|\sqrt{5} — 2|} = \sqrt{5} — 2\), так как разность положительна.

В итоге ответ: \(\sqrt{5} — 2\).

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2}\). По формуле степеней \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^2\) под десятым корнем даст \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{2}{10}} = (\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{1}{5}}\).

Теперь, поскольку \(\sqrt{3} < \sqrt{5}\), выражение \(\sqrt{3} — \sqrt{5}\) отрицательно. При взятии корня нечётной степени от отрицательного числа результат сохраняет знак, но при взятии корня чётной степени берётся модуль. Поэтому \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{1}{5}} = -(\sqrt{5} — \sqrt{3})^{\frac{1}{5}} = -\sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\).

В данном случае ответ записан как \(\sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\), потому что под корнем стоит модуль разности, и знак минус можно опустить.

3) Для выражения \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3}\) применяем свойство степеней: \((\sqrt{11} — 3)^3\) под двенадцатым корнем — это \((\sqrt{11} — 3)^{\frac{3}{12}} = (\sqrt{11} — 3)^{\frac{1}{4}}\).

Далее, \((\sqrt{11} — 3)^{\frac{1}{4}}\) — это корень четвёртой степени из \(\sqrt{11} — 3\). Так как \(\sqrt{11} > 3\), подкоренное выражение положительно, и модуль не нужен. Получаем \(\sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

Ответ: \(\sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

4) Для выражения \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^3}\) используем ту же формулу: \((\sqrt{7} — 3)^3\) под пятнадцатым корнем — это \((\sqrt{7} — 3)^{\frac{3}{15}} = (\sqrt{7} — 3)^{\frac{1}{5}}\).

Так как \(\sqrt{7} > 3\), выражение \(\sqrt{7} — 3\) положительно, и модуль не нужен. Следовательно, ответ будет \(\sqrt[5]{\sqrt{7} — 3}\).

Ответ: \(\sqrt[5]{\sqrt{7} — 3}\).