ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt[3]{(\sqrt{5} — 2)^4}\);

2) \(\sqrt[9]{(\sqrt{8} — \sqrt{5})^2}\);

3) \(\sqrt[3]{(\sqrt{11} — 3)^8}\);

4) \(\sqrt[5]{(\sqrt{7} — 3)^3}\).

1) \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4} = (\sqrt{5} — 2)^{\frac{4}{8}} = (\sqrt{5} — 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sqrt{5} — 2}\). Так как \(\sqrt{5} > 2\), то \(\sqrt{\sqrt{5} — 2} = \sqrt{5} — 2\).

2) \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2} = (\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{2}{10}} = (\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{|\sqrt{3} — \sqrt{5}|} = \sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\), так как \(\sqrt{5} > \sqrt{3}\).

3) \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3} = (\sqrt{11} — 3)^{\frac{3}{12}} = (\sqrt{11} — 3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

4) \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^9} = (\sqrt{7} — 3)^{\frac{9}{15}} = (\sqrt{7} — 3)^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{(\sqrt{7} — 3)^3}\).

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt[8]{(\sqrt{5} — 2)^4}\). По свойству степеней корень восьмой степени можно записать как степень с показателем \(\frac{1}{8}\), тогда выражение примет вид \((\sqrt{5} — 2)^{\frac{4}{8}}\). Сократим дробь \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Значит, выражение равно \((\sqrt{5} — 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\sqrt{5} — 2}\). Поскольку \(\sqrt{5} > 2\), подкоренное выражение положительно, и корень существует. Итог: \(\sqrt{\sqrt{5} — 2}\).

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt[10]{(\sqrt{3} — \sqrt{5})^2}\). Запишем корень как степень с показателем \(\frac{1}{10}\), получим \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{2}{10}}\). Сократим дробь \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Тогда выражение равно \((\sqrt{3} — \sqrt{5})^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{\sqrt{3} — \sqrt{5}}\). Но \(\sqrt{3} — \sqrt{5} < 0\), поэтому возьмём модуль: \(\sqrt[5]{|\sqrt{3} — \sqrt{5}|} = \sqrt[5]{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\).

3) Рассмотрим выражение \(\sqrt[12]{(\sqrt{11} — 3)^3}\). Корень двенадцатой степени записываем как степень с показателем \(\frac{1}{12}\), тогда получаем \((\sqrt{11} — 3)^{\frac{3}{12}}\). Сократим дробь \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). Значит, выражение равно \((\sqrt{11} — 3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\sqrt{11} — 3}\).

4) Рассмотрим выражение \(\sqrt[15]{(\sqrt{7} — 3)^9}\). Корень пятнадцатой степени записываем как степень с показателем \(\frac{1}{15}\), тогда получаем \((\sqrt{7} — 3)^{\frac{9}{15}}\). Сократим дробь \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). Значит, выражение равно \((\sqrt{7} — 3)^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{(\sqrt{7} — 3)^3}\).