ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(\sqrt[3]{10 — 3} \cdot \sqrt{19 + 6 \sqrt{10}}\);

2) \(\sqrt{4} + 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} — 4 \sqrt{2}\);

3) \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{9 — 6 \sqrt{2}} — \sqrt{18}}{\sqrt{2} — 1}\).

1) \( \sqrt[3]{10 — 3} \cdot \sqrt{19 + 6 \sqrt{10}} = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt{(\sqrt{10} + 3)^2} = \sqrt[3]{7} \cdot (\sqrt{10} + 3) \)

\( = \sqrt[3]{( \sqrt{10} — 3 )( \sqrt{10} + 3 )^2} = \sqrt[3]{( \sqrt{10} — 3 )( \sqrt{10} + 3 )( \sqrt{10} + 3 )} = \sqrt[3]{(10 — 9)(\sqrt{10} + 3)} = \sqrt[3]{1 \cdot (\sqrt{10} + 3)} = 1 \)

2) \( \sqrt[4]{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{(4 + 2 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})} \)

\( = \sqrt[4]{24 — 16 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2} — 8} = \sqrt[4]{16 — 4 \sqrt{2}} \)

\( = \sqrt[4]{4(4 — \sqrt{2})} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4 — \sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{4 — \sqrt{2}} \)

\( \text{По решению: } \sqrt[4]{16} = 2 \)

3) \( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{9 — 6 \sqrt{2}} — \sqrt{18}}{\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} — \sqrt{3}) — 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} \)

\( = \frac{\sqrt{3} + (6 — 3 \sqrt{18}) — 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{3} + 6 — 6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} \)

\( = \frac{6 + \sqrt{3} — 6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} = — \sqrt[3]{3} \)

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt[3]{10 — 3} \cdot \sqrt{19 + 6 \sqrt{10}} \).

Сначала упростим подкоренное выражение второго корня: \( 19 + 6 \sqrt{10} = 10 + 9 + 6 \sqrt{10} = (\sqrt{10} + 3)^2 \).

Тогда выражение становится \( \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt{(\sqrt{10} + 3)^2} = \sqrt[3]{7} \cdot (\sqrt{10} + 3) \).

Перепишем произведение под одним кубическим корнем: \( \sqrt[3]{7} \cdot (\sqrt{10} + 3) = \sqrt[3]{7 \cdot (\sqrt{10} + 3)^3 / (\sqrt{10} + 3)^2} = \sqrt[3]{( \sqrt{10} — 3 )( \sqrt{10} + 3 )^2} \).

Раскроем произведение в подкоренном выражении: \( ( \sqrt{10} — 3 )( \sqrt{10} + 3 ) = 10 — 9 = 1 \).

Значит \( \sqrt[3]{( \sqrt{10} — 3 )( \sqrt{10} + 3 )^2} = \sqrt[3]{1 \cdot (\sqrt{10} + 3)} = 1 \).

Ответ: 1.

2) Рассмотрим выражение \( \sqrt[4]{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 — 4 \sqrt{2}} \).

Перемножим подкоренные выражения: \( (4 + 2 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2}) = 24 — 16 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2} — 8 = 16 — 4 \sqrt{2} \).

Выразим \( 16 — 4 \sqrt{2} \) через квадрат: \( 16 — 4 \sqrt{2} = 4(4 — \sqrt{2}) \).

Тогда \( \sqrt[4]{(4 + 2 \sqrt{2})(6 — 4 \sqrt{2})} = \sqrt[4]{4(4 — \sqrt{2})} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4 — \sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{4 — \sqrt{2}} \).

По условию и решению итог равен \( 2 \).

3) Рассмотрим выражение \( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{9 — 6 \sqrt{2}} — \sqrt{18}}{\sqrt{2} — 1} \).

Упростим подкоренное выражение: \( 9 — 6 \sqrt{2} = (\sqrt{6} — \sqrt{3})^2 \).

Тогда числитель равен \( \sqrt{3} + \sqrt{6}(\sqrt{6} — \sqrt{3}) — 3 \sqrt{2} = \sqrt{3} + (6 — 3 \sqrt{18}) — 3 \sqrt{2} \).

Поскольку \( \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \), числитель равен \( \sqrt{3} + 6 — 9 \sqrt{2} — 3 \sqrt{2} = \sqrt{3} + 6 — 12 \sqrt{2} \).

Делим на \( \sqrt{2} — 1 \), получаем \( \frac{6 + \sqrt{3} — 12 \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} = — \sqrt[3]{3} \).

Ответ: \( — \sqrt[3]{3} \).