ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = 2x + \sqrt[5]{6}\);

2) \(y = 4 \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}\);

3) \(y = \sqrt[3]{(x — 2)^8}\);

4) \(y = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}\);

5) \(y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2\);

6) \(y = 5 x^3 \cdot 5 x^9\).

1) \( y = 2x + \sqrt[6]{x^6} = 2x + |x| \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
Если \( x \geq 0 \), то \( y = 2x + x = 3x \)
Если \( x < 0 \), то \( y = 2x — x = x \)

2) \( y = \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}} = x^{\frac{5}{4}} \)
Область определения: \( x \geq 0 \)
Если \( x \geq 0 \), то \( y = x^{\frac{5}{4}} \)

3) \( y = \sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2| \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
Если \( x \geq 2 \), то \( y = x-2 \)
Если \( x < 2 \), то \( y = 2-x \)

4) \( y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
Если \( x \geq 0 \), то \( y = x \)
Если \( x < 0 \), то \( y = -x \)

5) \( y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2 = \frac{x^3}{|x|} + 2 \)
Область определения: \( x \neq 0 \)
Если \( x > 0 \), то \( y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2 \)
Если \( x < 0 \), то \( y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2 \)

6) \( y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9} = \sqrt[6]{x^{3+9}} = \sqrt[6]{x^{12}} = |x^2| = x^2 \)
Область определения: \( x \geq 0 \)

1) Рассмотрим функцию \( y = 2x + \sqrt[6]{x^6} \). По определению корня шестой степени из \( x^6 \) получаем \( \sqrt[6]{x^6} = |x| \). Значит, функция принимает вид \( y = 2x + |x| \). Область определения — все числа \( x \in \mathbb{R} \). Разобьём функцию на два случая: если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и функция становится \( y = 2x + x = 3x \). Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и функция равна \( y = 2x — x = x \).

2) Функция \( y = \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x^3} \) может быть переписана в виде степеней: \( y = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}} \). Складываем показатели степени: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \). Тогда \( y = x^{\frac{5}{4}} \). Область определения — \( x \geq 0 \), так как под корнями чётной степени не может быть отрицательных чисел.

3) Для функции \( y = \sqrt[8]{(x-2)^8} \) корень восьмой степени из \( (x-2)^8 \) равен абсолютному значению \( |x-2| \). Область определения — все числа \( x \in \mathbb{R} \). Разобьём на два случая: если \( x \geq 2 \), то \( y = x — 2 \), если \( x < 2 \), то \( y = 2 — x \).

4) Рассмотрим \( y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2} \). Произведение корней четвёртой степени равно корню четвёртой степени из произведения: \( y = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4} \). Корень четвёртой степени из \( x^4 \) равен абсолютному значению \( |x| \). Область определения — все \( x \in \mathbb{R} \).

5) Функция \( y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2 \) преобразуется, учитывая, что \( \sqrt[6]{x^6} = |x| \). Тогда \( y = \frac{x^3}{|x|} + 2 \). Область определения — все \( x \neq 0 \). Если \( x > 0 \), то \( y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2 \). Если \( x < 0 \), то \( y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2 \).

6) Рассмотрим \( y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9} \). Складываем показатели под корнем: \( x^{\frac{3}{6}} \cdot x^{\frac{9}{6}} = x^{\frac{3}{6} + \frac{9}{6}} = x^{2} \). Корень шестой степени из \( x^{12} \) равен \( |x^2| = x^2 \). Область определения — \( x \geq 0 \), так как \( \sqrt[6]{x^3} \) определён только при неотрицательных \( x \).