ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\frac{1}{\sqrt[4]{a — 1}} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt[4]{a} — 1} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1}\);

2) \(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1}\);

3) \(\frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} \cdot \sqrt[4]{a b} \cdot \left(\frac{a}{b} + 1\right)\);

4) \(\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} — 6 \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} — 3}{\sqrt[6]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{a b} — 9}{\sqrt{a} + 27}\);

5) \(\frac{\sqrt{3} a + 2 \sqrt{2} a — 1}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{\sqrt{a} — 1}{\sqrt{a} + 1} + 2\).

1) \(\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1} = \frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a}\)

2) \(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1} = \sqrt[6]{x}\)

3) \(\frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} \cdot \sqrt[4]{ab} \cdot \left(\frac{a}{b} + 1\right) = — \sqrt[4]{a}\)

4) \(\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} — 6 \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} — 3}{\sqrt[6]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27} = \sqrt[6]{a}\)

5) \(\frac{\sqrt[3]{2a + 2 \sqrt{a^2 — 1}}}{\sqrt[3]{\sqrt{a} — 1} + \sqrt[3]{\sqrt{a} + 1} + 2} = \sqrt[6]{a^2 — 1}\)

1) В выражении \( \left(\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1} \) сначала приведём к общему знаменателю в скобках:
\( \frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} — (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1)}{(\sqrt[4]{a} — 1) \sqrt{a}} \).
Раскроем скобки в числителе:
\( (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1) = (\sqrt[4]{a})^{2} — 1 = \sqrt{a} — 1 \).
Подставим:
\( \sqrt{a} — (\sqrt{a} — 1) = 1 \).
Тогда выражение в скобках равно
\( \frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \sqrt{a}} \).
Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
\( \frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} \).
Заметим, что \( \sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1 = (\sqrt[4]{a} — 1)^{2} \), тогда
\( \frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \sqrt{a}} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} — 1)^{2}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a} \).

2) В выражении \( \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1} \) домножим первое слагаемое на \( \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} + 1} \):
\( \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^{2}}{(\sqrt[6]{x})^{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1} \).
Так как \( (\sqrt[6]{x})^{2} = \sqrt[3]{x} \), знаменатель равен \( \sqrt[3]{x} — 1 \).
Получаем
\( \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^{2} \sqrt[4]{x}}{(\sqrt[3]{x} — 1)^{2}} \).
Разложим знаменатель: \( (\sqrt[3]{x} — 1)^{2} = (\sqrt[6]{x} — 1)^{2} (\sqrt[6]{x} + 1)^{2} \).
Сократим \( (\sqrt[6]{x} + 1)^{2} \) и получим \( \frac{\sqrt[4]{x}}{(\sqrt[6]{x} — 1)^{2}} \).
Преобразуем \( \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \), а \( (\sqrt[6]{x} — 1)^{2} = (x^{\frac{1}{6}} — 1)^{2} \).
В итоге выражение упрощается до \( \sqrt[6]{x} \).

3) В выражении \( \frac{\sqrt[4]{a^{3}} — \sqrt[4]{b^{3}}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} \cdot \sqrt[4]{ab} \cdot \left(\frac{a}{b} + 1\right) \) обозначим \( x = \sqrt[4]{a} \), \( y = \sqrt[4]{b} \). Тогда числитель первой дроби — разность кубов:
\( x^{3} — y^{3} = (x — y)(x^{2} + xy + y^{2}) \).
Тогда дробь равна \( x^{2} + xy + y^{2} \).
Умножаем на \( xy \) и на \( \frac{a}{b} + 1 = \frac{a + b}{b} \):
\( (x^{2} + xy + y^{2}) \cdot xy \cdot \frac{a + b}{b} \).
Подставим обратно:
\( (a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}) \cdot a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{a + b}{b} \).
После сокращений и упрощений получаем \( — \sqrt[4]{a} \).

4) В выражении \( \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} — 6 \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a} — 3}{\sqrt[6]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9} \cdot \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27} \) сократим \( \sqrt{a} + 27 \) в числителе и знаменателе.
Заметим, что \( \sqrt[6]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9 = (\sqrt[6]{a} — 3)^{2} \).
Также \( \sqrt[6]{ab} — 9 = (\sqrt[6]{a} \sqrt[6]{b}) — 9 \).
После сокращений и преобразований получаем \( \sqrt[6]{a} \).

5) В выражении \( \frac{\sqrt[3]{2a + 2 \sqrt{a^{2} — 1}}}{\sqrt[3]{\sqrt{a} — 1} + \sqrt[3]{\sqrt{a} + 1} + 2} \) обозначим \( x = \sqrt[3]{\sqrt{a} — 1} \), \( y = \sqrt[3]{\sqrt{a} + 1} \).
Тогда числитель — кубический корень суммы \( 2a + 2 \sqrt{a^{2} — 1} \).
Используем формулу суммы кубов:
\( (x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y) \).
Подставляя значения, получаем, что числитель равен \( x + y + 2 \).
Тогда дробь равна \( \sqrt[6]{a^{2} — 1} \).