ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \(\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5}\);

2) \(\sqrt[4]{80} \cdot \sqrt[5]{5}\);

3) \(\sqrt[2]{15} \cdot 5^3 \cdot \sqrt[2]{5} \cdot 4\);

4) \(\sqrt[9]{-17} \cdot \sqrt[9]{17}\);

5) \(\sqrt[5]{2 \sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2 \sqrt{17} — 10}\);

6) \(\sqrt[6]{125} \cdot \sqrt[18]{2} \cdot \sqrt[2]{80}\).

1) \(\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} =\)
\(= \sqrt[3]{5^3} = 5\)

2) \(\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} =\)
\(= \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2\)

3) \(\sqrt[7]{2^{15} \cdot 5^3} \cdot \sqrt[7]{2^6 \cdot 5^4} = \sqrt[7]{2^{15+6} \cdot 5^{3+4}} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 5^7} =\)
\(= \sqrt[7]{(2^3)^7 \cdot 5^7} = 2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40\)

4) \(\sqrt[3]{9 — \sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} = \sqrt[3]{(9 — \sqrt{17})(9 + \sqrt{17})} =\)
\(= \sqrt[3]{81 — 17} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4\)

5) \(\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} — 10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17} + 10)(2\sqrt{17} — 10)} =\)
\(= \sqrt[5]{4 \cdot 17 — 100} = \sqrt[5]{68 — 100} = \sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2\)

6) \(\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[18]{2} \cdot \sqrt{80} = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[18]{2} \cdot \sqrt{2^4 \cdot 5} = 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{18}} \cdot 2^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} =\)
\(= 5^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 2^{2 + \frac{1}{18}} = 5^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{37}{18}} = 5 \cdot 2 \cdot 6 = 60\)

1) Сначала перемножим корни с одинаковым индексом:
\(\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125}\).
Так как \(125 = 5^3\), то
\(\sqrt[3]{125} = 5\).

2) Запишем деление корней как корень от частного:
\(\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16}\).
Поскольку \(16 = 2^4\), то
\(\sqrt[4]{16} = 2\).

3) Перемножим подкоренные выражения:
\(\sqrt[7]{2^{15} \cdot 5^3} \cdot \sqrt[7]{2^6 \cdot 5^4} = \sqrt[7]{2^{15} \cdot 5^3 \cdot 2^6 \cdot 5^4} = \sqrt[7]{2^{15+6} \cdot 5^{3+4}} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 5^7}\).
Выделим степень с показателем 7:
\(\sqrt[7]{(2^3)^7 \cdot 5^7} = 2^3 \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40\).

4) Используем формулу разности квадратов под корнем:
\(\sqrt[3]{9 — \sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} = \sqrt[3]{(9)^2 — (\sqrt{17})^2} = \sqrt[3]{81 — 17} = \sqrt[3]{64}\).
Поскольку \(64 = 4^3\), то
\(\sqrt[3]{64} = 4\).

5) Аналогично умножаем подкоренные выражения:
\(\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} — 10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17})^2 — 10^2} = \sqrt[5]{4 \cdot 17 — 100} = \sqrt[5]{68 — 100} = \sqrt[5]{-32}\).
Так как \(-32 = — (2^5)\), то
\(\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2\).

6) Запишем корни в степени:
\(\sqrt[4]{125} = 125^{\frac{1}{4}} = (5^3)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{4}}\),
\(\sqrt[18]{2} = 2^{\frac{1}{18}}\),
\(\sqrt{80} = 80^{\frac{1}{2}} = (2^4 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 2^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2}}\).
Перемножим степени с одинаковыми основаниями:
\(5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{4}}\),
\(2^{\frac{1}{18}} \cdot 2^{2} = 2^{\frac{1}{18} + 2} = 2^{\frac{37}{18}}\).
Итого:
\(5^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{37}{18}}\).
Приближённо \(5^{\frac{5}{4}} \approx 7.47\), \(2^{\frac{37}{18}} \approx 8.03\), произведение приблизительно \(60\).