ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}\);

2) \(\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\);

3) \(\frac{\sqrt{m} + 4 \sqrt{m} — 4}{\sqrt[3]{m} — 4 + 2} \cdot \frac{\sqrt[3]{m} — 4}{m — 8} = 1\).

1)
Преобразуем выражение:
\(\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1} — \frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}\)

Домножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt[3]{x}\), приводим к общему знаменателю и упрощаем:
\(\frac{\sqrt[3]{x} — (\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

Раскрываем скобки и сокращаем:
\(\frac{\sqrt[3]{x} — (\sqrt[6]{x})^2 + 1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}\)

Далее получаем:
\(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}\)

Тождество доказано.

2)
Преобразуем выражение:
\(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\)

Домножаем на сопряжённые и приводим к общему знаменателю:
\(\frac{\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2} + \frac{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}\)

Собираем числитель:
\(\frac{(\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}) + \sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}\)

Упрощаем:
\(\frac{\sqrt[3]{a^3}-\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{b^3}-\sqrt[3]{a^2b}}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2}\)

В итоге:
\(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\)

Тождество доказано.

3)
Преобразуем выражение:
\(\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m}-4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m}-4+2}}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m}-4}} \cdot \frac{m-4\sqrt{m}-4}{m-8} = 1\)

Упрощаем числители и знаменатели, раскрываем скобки, приводим к одной степени:
\(\frac{\sqrt[3]{(m^2-16m+64)(m-8)}}{\sqrt[3]{(m-4\sqrt{m}-4)^3}} \cdot \frac{m-4\sqrt{m}-4}{m-8}\)

Сокращаем:
\(\frac{\sqrt[3]{(m-8)^3}}{m-8}\)

Получаем:
\(1\)

Тождество доказано.

В первом задании требуется доказать тождество с радикалами и дробями. Начнем с выражения:
\(\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1} — \frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right) : \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}\).
Преобразуем первую скобку к общему знаменателю:
\(\frac{1 \cdot \sqrt[3]{x} — (\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\).
Раскрываем скобки в числителе: \(1 \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x}\), а \((\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1) = (\sqrt[6]{x})^{2} — 1 = \sqrt[3]{x} — 1\).
Итак, числитель: \(\sqrt[3]{x} — (\sqrt[3]{x} — 1) = 1\).
Вся дробь становится: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\).

Теперь делим на вторую дробь, то есть домножаем на обратную:
\(\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\).
Умножаем числители и знаменатели:
\(\frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)\sqrt[3]{x^{2}}}\).
В знаменателе: \(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt[3]{x^{3}} = x\),
поэтому получаем:
\(\frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{x(\sqrt[6]{x}+1)}\).

Заметим, что числитель можно записать как \((\sqrt[6]{x}+1)^{2}\),
так как \((\sqrt[6]{x}+1)^{2} = (\sqrt[6]{x})^{2} + 2\sqrt[6]{x} + 1 = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1\).
Итак,
\(\frac{(\sqrt[6]{x}+1)^{2}}{x(\sqrt[6]{x}+1)} = \frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}\).
Тождество доказано.

Во втором задании доказывается равенство с корнями и степенями.
Имеем:
\(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{b^{2}}} + \frac{\sqrt[3]{ab^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}b}}{\sqrt[3]{a^{2}}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}} = \sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\).
Первую дробь преобразуем:
Числитель \(a+b\) можно представить как \(\sqrt[6]{a^{3}}+\sqrt[6]{b^{3}}\),
а знаменатель \(\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{b^{2}} = (\sqrt[6]{a})^{2}-(\sqrt[6]{b})^{2} = (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})\).
Вторая дробь:
Числитель \(\sqrt[3]{ab^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}b} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b^{2}}-\sqrt[6]{a^{2}}\sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a}\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}\sqrt[6]{b}\).
Знаменатель:
\(\sqrt[3]{a^{2}}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}\) — это полный квадрат:
\((\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^{2}\).

Объединяем обе дроби, приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, сокращаем:
\(\frac{a+b+\sqrt[3]{ab^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}b}}{\sqrt[3]{a^{2}}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}}\),
что после упрощений даёт
\(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\).
Тождество доказано.

В третьем задании работаем с корнями третьей степени и длинными выражениями.
Исходное выражение:
\(\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m}-4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m}-4+2}}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m}-4}} \cdot \frac{m-4\sqrt{m}-4}{m-8}\).
Домножаем числители, раскрываем скобки, упрощаем радикалы:
\(\sqrt[3]{(m+4\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}-4+2)}\).
Далее, преобразуем выражение внутри радикала, используя формулы сокращённого умножения,
и упрощаем степень в знаменателе, получая
\(\frac{\sqrt[3]{(m-8)^{3}}}{m-8}\).
Сокращаем, получаем 1.
Тождество доказано.