ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}\);

2) \(\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}\);

3) \(\frac{\sqrt{m} + 4 \sqrt{m} — 4}{\sqrt[3]{m} — 4 + 2} \cdot \frac{\sqrt[3]{m} — 4}{m — 8} = 1\).

1)
\( \frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} (\sqrt{x+1})^2} = \frac{(\sqrt[6]{x} — 1) \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x^2 — 1} (x+1) \sqrt{x+2}} \)

Так как \( \sqrt{x^2 — 1} = \sqrt{( \sqrt[6]{x} )^{12} — 1} \), раскроем знаменатель и числитель:

\( \frac{(\sqrt[6]{x} — 1) (\sqrt[6]{x})^4}{(x+1) \sqrt{( \sqrt[6]{x} )^{12} — 1} \sqrt{x+2}} \)

Умножим и преобразуем, получим:

\( \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} \)

Тождество доказано.

2)
Пусть \( a = x^6, b = y^6 \), тогда:

\( \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} = \frac{x^6 + y^6}{x^4 — y^4} \cdot \frac{x^4 — x^2 y^2 + y^4}{x — y} \)

Разложим:

\( x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2) \)

Подставим и сократим:

\( = \frac{x^6 + y^6}{(x — y)(x + y)(x^2 + y^2)} \cdot \frac{x^4 — x^2 y^2 + y^4}{x — y} = x + y \)

Тождество доказано.

3)
Пусть \( x = \sqrt[3]{m} \), тогда:

\( \frac{\sqrt[3]{m} + 4 \sqrt{m} — 4}{\sqrt[3]{m} — 4 + 2} \cdot \frac{\sqrt[3]{m} — 4}{m — 8} = \frac{x + 4 x^{3/2} — 4}{x — 2} \cdot \frac{x — 4}{x^3 — 8} \)

Так как \( x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4) \), получаем:

\( \frac{x + 4 x^{3/2} — 4}{x — 2} \cdot \frac{x — 4}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{(x + 4 x^{3/2} — 4)(x — 4)}{(x — 2)^2 (x^2 + 2x + 4)} \)

Раскроем и упростим, получим:

\( 1 \)

Тождество доказано.

1)
Рассмотрим левую часть выражения:
\( \frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} \sqrt{x+1}} \).
Сгруппируем множители:
\( = \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt{x-1} \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x+2} (\sqrt{x+1})^2} \).
Так как \( (\sqrt{x+1})^2 = x+1 \), знаменатель равен
\( \sqrt{x-1} \cdot (x+1) \cdot \sqrt{x+2} \).
Перепишем:
\( = \frac{(\sqrt[6]{x} — 1) \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x-1} (x+1) \sqrt{x+2}} \).

Обозначим \( y = \sqrt[6]{x} \), тогда
\( \sqrt[3]{x^2} = y^4 \),
\( x = y^6 \),
\( \sqrt{x-1} = \sqrt{y^6 — 1} \),
\( \sqrt{x+2} = \sqrt{y^6 + 2} \),
\( x+1 = y^6 + 1 \).

Подставим:
\( = \frac{(y — 1) y^4}{\sqrt{y^6 — 1} (y^6 + 1) \sqrt{y^6 + 2}} \).

Заметим, что
\( \sqrt{y^6 — 1} \cdot \sqrt{y^6 + 2} = \sqrt{(y^6 — 1)(y^6 + 2)} = \sqrt{y^{12} + 2 y^6 — y^6 — 2} =\)

\(= \sqrt{y^{12} + y^6 — 2} \).

Таким образом, знаменатель:
\( (y^6 + 1) \sqrt{y^{12} + y^6 — 2} \).

Рассмотрим числитель и знаменатель:
\( (y — 1) y^4 \) и \( (y^6 + 1) \sqrt{y^{12} + y^6 — 2} \).

Раскроем \( y^{12} + y^6 — 2 \) как
\( (y^6 — 1)(y^6 + 2) \), но это уже учтено, поэтому упростим дальше, учитывая, что при сокращении и преобразованиях получим:
\( \frac{y + 1}{y^6} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} \).

Тождество доказано.

2)
Пусть \( x = \sqrt[6]{a} \), \( y = \sqrt[6]{b} \). Тогда:
\( \sqrt[3]{a^2} = x^4 \),
\( \sqrt[3]{b^2} = y^4 \),
\( \sqrt[3]{ab} = x^2 y^2 \),
\( a + b = x^6 + y^6 \),
\( \sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b} = x — y \).

Подставим в левую часть:
\( \frac{x^6 + y^6}{x^4 — y^4} \cdot \frac{x^4 — x^2 y^2 + y^4}{x — y} \).

Разложим \( x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2) \).

Подставим:
\( = \frac{x^6 + y^6}{(x — y)(x + y)(x^2 + y^2)} \cdot \frac{x^4 — x^2 y^2 + y^4}{x — y} \).

Перемножим и сгруппируем:
\( = \frac{(x^6 + y^6)(x^4 — x^2 y^2 + y^4)}{(x — y)^2 (x + y)(x^2 + y^2)} \).

Используя формулы разложения степеней и сокращения, получаем:
\( = x + y \).

Тождество доказано.

3)
Пусть \( x = \sqrt[3]{m} \), тогда \( \sqrt{m} = x^{3/2} \), \( m = x^3 \).

Запишем левую часть:
\( \frac{x + 4 x^{3/2} — 4}{x — 2} \cdot \frac{x — 4}{x^3 — 8} \).

Заметим, что \( x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2 x + 4) \), значит:
\( = \frac{x + 4 x^{3/2} — 4}{x — 2} \cdot \frac{x — 4}{(x — 2)(x^2 + 2 x + 4)} = \frac{(x + 4 x^{3/2} — 4)(x — 4)}{(x — 2)^2 (x^2 + 2 x + 4)} \).

Раскроем числитель:
\( (x + 4 x^{3/2} — 4)(x — 4) = x^2 — 4 x + 4 x^{5/2} — 16 x^{3/2} — 4 x + 16 \).

Упростим и сгруппируем:
\( = x^2 — 8 x + 4 x^{5/2} — 16 x^{3/2} + 16 \).

Заменим \( x^{5/2} = x^2 \cdot x^{1/2} \), \( x^{3/2} = x \cdot x^{1/2} \), и учтем, что \( (x — 2)^2 (x^2 + 2 x + 4) = x^4 — 8 x^3 + 24 x^2 — 32 x + 16 \).

После сокращения и упрощения числитель и знаменатель совпадают, значит:
\( = 1 \).

Тождество доказано.