ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) \(\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5 \sqrt{2}}\);

2) \(\sqrt[6]{\sqrt{3} + 10} — \sqrt[6]{\sqrt{3} — 10}\).

Пусть \(a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\), \(b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}\). Тогда

\(a \cdot b = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{49 — 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{-1} = -1\).

\(a^3 + b^3 = 7 + 5\sqrt{2} + 7 — 5\sqrt{2} = 14\).

Пусть \(x = a + b\). Тогда

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\),

значит

\(14 = x(x^2 — 3ab) = x(x^2 — 3(-1)) = x(x^2 + 3) = x^3 + 3x\).

Решаем уравнение

\(x^3 + 3x = 14\).

Подставим \(x = 2\):

\(2^3 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14\).

Значит \(x = 2\).

Пусть \(a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}\), \(b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}\). Тогда

\(a \cdot b = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10)} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2\).

\(a^3 — b^3 = 6\sqrt{3} + 10 — (6\sqrt{3} — 10) = 20\).

Пусть \(x = a — b\). Тогда

\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\),

значит

\(20 = x(x^2 + 3ab) = x(x^2 + 3 \cdot 2) = x(x^2 + 6) = x^3 + 6x\).

Решаем уравнение

\(x^3 + 6x = 20\).

Подставим \(x = 2\):

\(2^3 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 = 20\).

Значит \(x = 2\).

1) Пусть \(a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}\). Рассмотрим сумму \(a + b\).

2) Найдем произведение \(a \cdot b\). Умножим подкоренные выражения: \((7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2}) = 7^2 — (5\sqrt{2})^2 = 49 — 25 \cdot 2 = 49 — 50 = -1\). Значит, \(a \cdot b = \sqrt[3]{-1} = -1\).

3) Найдем сумму кубов \(a^3 + b^3\). По определению \(a^3 = 7 + 5\sqrt{2}\), \(b^3 = 7 — 5\sqrt{2}\), значит \(a^3 + b^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) = 14\).

4) Обозначим \(x = a + b\). Используем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

5) Выразим \(a^2 — ab + b^2\) через \(x\) и \(ab\): \(a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3ab = x^2 — 3ab\).

6) Подставим значения в формулу: \(14 = x(x^2 — 3(-1)) = x(x^2 + 3) = x^3 + 3x\).

7) Решим уравнение \(x^3 + 3x = 14\). Проверим \(x = 2\): \(2^3 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14\). Значит, \(x = 2\).

8) Следовательно, \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}} = 2\).

—

1) Пусть \(a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}\) и \(b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}\). Рассмотрим разность \(a — b\).

2) Найдем произведение \(a \cdot b\). Умножим подкоренные выражения: \((6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10) = (6\sqrt{3})^2 — 10^2 = 36 \cdot 3 — 100 = 108 — 100 = 8\). Значит, \(a \cdot b = \sqrt[3]{8} = 2\).

3) Найдем разность кубов \(a^3 — b^3\). По определению \(a^3 = 6\sqrt{3} + 10\), \(b^3 = 6\sqrt{3} — 10\), значит \(a^3 — b^3 = (6\sqrt{3} + 10) — (6\sqrt{3} — 10) = 20\).

4) Обозначим \(x = a — b\). Используем формулу разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

5) Выразим \(a^2 + ab + b^2\) через \(x\) и \(ab\): \(a^2 + ab + b^2 = (a — b)^2 + 3ab = x^2 + 3ab\).

6) Подставим значения в формулу: \(20 = x(x^2 + 3 \cdot 2) = x(x^2 + 6) = x^3 + 6x\).

7) Решим уравнение \(x^3 + 6x = 20\). Проверим \(x = 2\): \(2^3 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 = 20\). Значит, \(x = 2\).

8) Следовательно, \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10} = 2\).