Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что \(\sqrt{20} + 14 \sqrt{2} + \sqrt{20} — 14 \sqrt{2} = 4\).
Пусть \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\).
Тогда \(a^3 = 20 + 14\sqrt{2}\), \(b^3 = 20 — 14\sqrt{2}\).
Сложим: \(a^3 + b^3 = 40\).
Найдём произведение: \(ab = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 392} = \sqrt[3]{8} = 2\).
Из формулы суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)\).
Подставим: \(40 = (a + b)^3 — 6(a + b)\).
Пусть \(x = a + b\), тогда \(x^3 — 6x = 40\).
Проверим \(x = 4\): \(4^3 — 6 \cdot 4 = 64 — 24 = 40\).
Значит, \(a + b = 4\).
1. Обозначим \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\).
2. По определению кубического корня имеем \(a^3 = 20 + 14\sqrt{2}\) и \(b^3 = 20 — 14\sqrt{2}\).
3. Сложим эти выражения: \(a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 40\).
4. Найдём произведение \(ab\): \(ab = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — (14\sqrt{2})^2}\).
5. Вычислим подкоренное выражение: \((14\sqrt{2})^2 = 14^2 \cdot 2 = 196 \cdot 2 = 392\), значит \(400 — 392 = 8\).
6. Тогда \(ab = \sqrt[3]{8} = 2\).
7. Используем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)\).
8. Подставим известные значения: \(40 = (a + b)^3 — 3 \cdot 2 \cdot (a + b) = (a + b)^3 — 6(a + b)\).
9. Обозначим \(x = a + b\), тогда уравнение примет вид: \(x^3 — 6x = 40\).
10. Проверим \(x = 4\): \(4^3 — 6 \cdot 4 = 64 — 24 = 40\), значит \(a + b = 4\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.