ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что \(\sqrt{20} + 14 \sqrt{2} + \sqrt{20} — 14 \sqrt{2} = 4\).

Пусть \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\).

Тогда \(a^3 = 20 + 14\sqrt{2}\), \(b^3 = 20 — 14\sqrt{2}\).

Сложим: \(a^3 + b^3 = 40\).

Найдём произведение: \(ab = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 392} = \sqrt[3]{8} = 2\).

Из формулы суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)\).

Подставим: \(40 = (a + b)^3 — 6(a + b)\).

Пусть \(x = a + b\), тогда \(x^3 — 6x = 40\).

Проверим \(x = 4\): \(4^3 — 6 \cdot 4 = 64 — 24 = 40\).

Значит, \(a + b = 4\).

Рассмотрим подробно каждый этап рассуждения, чтобы полностью раскрыть структуру решения и обосновать полученные результаты. Пусть \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\). По определению кубического корня, \(a^3 = 20 + 14\sqrt{2}\) и \(b^3 = 20 — 14\sqrt{2}\). Если мы сложим эти выражения, получим \(a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 40\). Это важный шаг, поскольку сумма кубов выражается через сумму самих чисел и их произведение, что понадобится далее.

Теперь рассмотрим произведение \(ab\). По свойству корней: \(ab = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})}\). Раскроем скобки: \((20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2}) = 20^2 — (14\sqrt{2})^2\). Вычислим \((14\sqrt{2})^2 = 14^2 \cdot 2 = 196 \cdot 2 = 392\), значит \(20^2 — 392 = 400 — 392 = 8\). Таким образом, \(ab = \sqrt[3]{8} = 2\). Это произведение пригодится для применения формулы суммы кубов, которая связывает сумму и произведение корней.

Далее используем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)\). Подставим известные значения: \(a^3 + b^3 = 40\), \(ab = 2\), обозначим \(x = a + b\). Получаем уравнение: \(40 = x^3 — 3 \cdot 2 \cdot x = x^3 — 6x\). Это кубическое уравнение относительно \(x\). Проверим значение \(x = 4\): \(4^3 — 6 \cdot 4 = 64 — 24 = 40\), что совпадает с левой частью уравнения. Следовательно, \(a + b = 4\).

Таким образом, мы доказали, что сумма двух выражений \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\) равна четырём, то есть \(a + b = 4\). Этот результат получен строго по определению кубического корня, с использованием свойств произведения и суммы кубов, а также с проверкой вычислений на каждом этапе. Такой подход позволяет не только получить ответ, но и понять структуру решения, а также убедиться в его корректности на каждом шаге.