ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)\).

\((\sqrt{2} + 1)^4 \cdot (\sqrt{6} + 1) = (3 + 2\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{6} + 1) = (9 + 12\sqrt{2} + 8) \cdot (\sqrt{6} + 1) =\)
\(= (17 + 12\sqrt{2})(\sqrt{6} + 1) =\)
\(=17\sqrt{6} + 17 + 12\sqrt{12} + 12\sqrt{2} = 17\sqrt{6} + 17 + 24\sqrt{3} + 12\sqrt{2}\)

1. Запишем исходное выражение: \((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)\).

2. Сгруппируем одинаковые множители: \((\sqrt{2} + 1)^4 \cdot (\sqrt{6} + 1)\).

3. Найдём \((\sqrt{2} + 1)^2\): \( (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} \).

4. Возведём результат в квадрат, чтобы получить \((\sqrt{2} + 1)^4\): \((3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}\).

5. Теперь умножим \((17 + 12\sqrt{2})(\sqrt{6} + 1)\).

6. Раскроем скобки: \(17 \cdot \sqrt{6} + 17 \cdot 1 + 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 12\sqrt{2} \cdot 1\).

7. Упростим произведения под корнем: \(12\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = 12\sqrt{12} = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\).

8. Запишем полный результат: \(17\sqrt{6} + 17 + 24\sqrt{3} + 12\sqrt{2}\).

9. Расставим слагаемые по порядку: \(17 + 17\sqrt{6} + 12\sqrt{2} + 24\sqrt{3}\).

10. Итоговый ответ: \(17 + 17\sqrt{6} + 12\sqrt{2} + 24\sqrt{3}\).