ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \((\sqrt[6]{a} + 1)(\sqrt[6]{a} + 1) \ldots (\sqrt[6]{a} + 1)\).

Если \(a \neq 1\):

Сначала разложим произведение:
\((\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)\dots(\sqrt{a} + 1)\)

Воспользуемся формулой разности степеней:
\((x-1)(x+1) = x^2 — 1\), и аналогично для корней.

Преобразуем выражение по цепочке:
\(\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}\)

Если \(a = 1\):

Все множители равны \(2\), их \(6\):

\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6\)

Ответ: если \(a \neq 1\), то \(\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}\); если \(a = 1\), то \(2^6\).

Рассмотрим выражение \((\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)\). Оно состоит из множителей, каждый из которых является корнем степени, уменьшающейся вдвое на каждом шаге, начиная с 64 и заканчивая обычным квадратным корнем. Если \(a \neq 1\), то удобно воспользоваться разложением разности степеней: \(x^n — 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1)\), а также тем, что каждый множитель можно представить как разность корней соседних степеней. Например, \(\sqrt[64]{a} + 1 = \frac{a^{\frac{1}{64}} — 1}{a^{\frac{1}{128}} — 1}\), и так далее по цепочке.

Если аккуратно перемножить все такие выражения, то происходит последовательное сокращение множителей, и в конечном итоге в числителе останется только \(a — 1\), а в знаменателе \(\sqrt[64]{a} — 1\). Каждый шаг — это применение формулы разности корней: \((\sqrt[n]{a} — 1)(\sqrt[n]{a} + 1) = \sqrt[n/2]{a} — 1\), и так далее, пока не дойдём до самого простого вида. Таким образом, вся цепочка преобразований приводит к компактной дроби: \(\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}\).

Если \(a = 1\), то все корни от единицы дают \(1\), и каждый множитель становится равным \(1 + 1 = 2\). Всего таких множителей шесть, поэтому произведение равно \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6\). Это значение получается простым пересчётом количества множителей, так как при \(a = 1\) все корни не влияют на результат, и выражение превращается в произведение одинаковых чисел.

Ответ: если \(a \neq 1\), то \(\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}\); если \(a = 1\), то \(2^6\).