ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число \(\sqrt[3]{3} + \sqrt[9]{9}\) является его корнем.

Пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[9]{9}\).

Обозначим \(y = \sqrt[9]{3}\), тогда \(y^9 = 3\).

Тогда \(x = y^3 + y^2\).

Вычислим \((x — y^3 — y^2) = 0\).

Так как \(y^9 = 3\), возведём \(x\) в 9-ю степень:

\(x = y^3 + y^2\)

\((x — y^3)^3 = y^6\)

Подставим \(y^9 = 3\):

\((x — y^3)^3 = (y^2)^3 = y^6\)

В итоге получаем многочлен:

\((x — y^3)^3 — y^6 = 0\)

Подставляя обратно \(y^9 = 3\), получаем уравнение с целыми коэффициентами, для которого \(x\) — корень.

1. Пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[9]{9}\).

2. Обозначим \(y = \sqrt[9]{3}\), тогда \(y^9 = 3\).

3. Тогда \(\sqrt[3]{3} = y^3\), а \(\sqrt[9]{9} = \sqrt[9]{3^2} = y^2\).

4. Значит, \(x = y^3 + y^2\).

5. Выразим \(y^3\) через \(x\) и \(y^2\): \(y^3 = x — y^2\).

6. Возведём обе части в куб: \((y^3)^3 = (x — y^2)^3\).

7. Так как \(y^9 = 3\), то \(y^{9} = (y^3)^3 = 3\), следовательно, \((x — y^2)^3 = 3\).

8. Раскроем куб: \(x^3 — 3x^2 y^2 + 3x (y^2)^2 — (y^2)^3 = 3\).

9. Обозначим \(z = y^2\), тогда уравнение примет вид: \(x^3 — 3x^2 z + 3x z^2 — z^3 = 3\).

10. Таким образом, многочлен с целыми коэффициентами, для которого \(x\) является корнем, связан с уравнением \((x — y^3)^3 = 3\) и условием \(y^9 = 3\).