ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что является иррациональным число:

1) \(\sqrt{2} + \sqrt{5}\);

2) \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\).

Пусть \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\), где \(x \in \mathbb{Q}\). Тогда
\(x^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})^3 = 2 + 3 \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{5} + 3 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5^2} + 5\).
Получаем
\(x^3 = 7 + 3 \sqrt[3]{20} + 3 \sqrt[3]{50} = 7 + 3 \sqrt[3]{10}(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}) = 7 + 3 x \sqrt[3]{10}\).
Переносим:
\(x^3 — 7 = 3 x \sqrt[3]{10}\), значит
\(\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 — 7}{3 x} \in \mathbb{Q}\).
Это противоречит иррациональности \(\sqrt[3]{10}\), значит \(x \notin \mathbb{Q}\).

Пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\), где \(x \in \mathbb{Q}\). Тогда
\(\sqrt[3]{3} = x — \sqrt{2}\).
Возводим в куб:
\((\sqrt[3]{3})^3 = (x — \sqrt{2})^3\), то есть
\(3 = x^3 — 3 x^2 \sqrt{2} + 3 x \cdot 2 — 2 \sqrt{2}\).
Перепишем:
\(3 = x^3 + 6 x — 3 x^2 \sqrt{2} — 2 \sqrt{2}\).
Переносим с \(\sqrt{2}\):
\(3 x^2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = x^3 + 6 x — 3\),
вынесем \(\sqrt{2}\):
\((3 x^2 + 2) \sqrt{2} = x^3 + 6 x — 3\),
значит
\(\sqrt{2} = \frac{x^3 + 6 x — 3}{3 x^2 + 2} \in \mathbb{Q}\).
Это противоречит иррациональности \(\sqrt{2}\), значит \(x \notin \mathbb{Q}\).

1) Пусть \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\). Предположим, что \(x \in \mathbb{Q}\), то есть \(x\) рационально. Возведём \(x\) в куб:
\(x^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})^3\).

2) Раскроем куб суммы по формуле:
\(x^3 = (\sqrt[3]{2})^{3} + 3 (\sqrt[3]{2})^{2} \cdot \sqrt[3]{5} + 3 \sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt[3]{5})^{2} + (\sqrt[3]{5})^{3}\).

3) Подставим значения степеней:
\(x^3 = 2 + 3 \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} + 3 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{25} + 5\).

4) Объединим корни:
\(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{20}\),
\(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{50}\).
Тогда
\(x^3 = 7 + 3 \sqrt[3]{20} + 3 \sqrt[3]{50}\).

5) Выделим общий множитель:
\(\sqrt[3]{20} = \sqrt[3]{10 \cdot 2}\),
\(\sqrt[3]{50} = \sqrt[3]{10 \cdot 5}\),
значит
\(x^3 = 7 + 3 \sqrt[3]{10} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}) = 7 + 3 x \sqrt[3]{10}\).

6) Перенесём слагаемые:
\(x^3 — 7 = 3 x \sqrt[3]{10}\),
отсюда
\(\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 — 7}{3 x}\).

7) Если \(x\) рационально, то правая часть рациональна, значит \(\sqrt[3]{10}\) рационально. Это невозможно, так как \(\sqrt[3]{10}\) иррационально. Противоречие.

8) Значит \(x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\) не является рациональным числом.

9) Теперь пусть \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\) и предположим, что \(x \in \mathbb{Q}\).

10) Тогда
\(\sqrt[3]{3} = x — \sqrt{2}\). Возведём обе части в куб:
\((\sqrt[3]{3})^3 = (x — \sqrt{2})^3\), то есть
\(3 = x^3 — 3 x^{2} \sqrt{2} + 3 x \cdot 2 — 2 \sqrt{2}\).

11) Перепишем:
\(3 = x^3 + 6 x — 3 x^{2} \sqrt{2} — 2 \sqrt{2}\).

12) Перенесём все с \(\sqrt{2}\) в одну сторону:
\(3 x^{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = x^3 + 6 x — 3\).

13) Вынесем \(\sqrt{2}\):
\((3 x^{2} + 2) \sqrt{2} = x^3 + 6 x — 3\).

14) Отсюда
\(\sqrt{2} = \frac{x^3 + 6 x — 3}{3 x^{2} + 2}\).

15) Если \(x\) рационально, то правая часть рациональна, значит \(\sqrt{2}\) рационально. Это невозможно, так как \(\sqrt{2}\) иррационально. Противоречие.

16) Значит \(x = \sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\) не является рациональным числом.