ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что является иррациональным число:

1) \(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3}\);

2) \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).

Пусть \(x = \sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3}\), где \(x \in \mathbb{Q}\). Тогда
\(x^3 = (\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3})^3 = 7 — 3 \cdot \sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{3^2} — 3\).
Это даёт
\(x^3 = 4 — 3 \sqrt[3]{147} + 3 \sqrt[3]{63} = 4 — 3 \sqrt[3]{21} x\).
Перепишем:
\(3 x \sqrt[3]{21} = 4 — x^3\),
откуда
\(\sqrt[3]{21} = \frac{4 — x^3}{3 x} \in \mathbb{Q}\).
Это противоречит иррациональности \(\sqrt[3]{21}\). Значит \(x \notin \mathbb{Q}\).

Пусть \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\), где \(x \in \mathbb{Q}\). Тогда
\(\sqrt{2} = x — \sqrt{3}\).
Возьмём куб обеих частей:
\((\sqrt{2})^3 = (x — \sqrt{3})^3\),
то есть
\(2 \sqrt{2} = x^3 — 3 x^2 \sqrt{3} + 9 x — 3 \sqrt{3}\).
Перенесём всё под корни в одну сторону:
\(2 \sqrt{2} + 3 x^2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = x^3 + 9 x\).
Правая часть рациональна, левая — сумма иррациональных чисел с разными корнями, что невозможно. Значит \(x \notin \mathbb{Q}\).

1) Пусть \(x = \sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3}\) и предположим, что \(x \in \mathbb{Q}\), то есть число рационально.

Возьмём куб обеих частей:
\(x^3 = (\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3})^3\).

Раскроем куб разности по формуле:
\((a — b)^3 = a^3 — 3 a^2 b + 3 a b^2 — b^3\),
где \(a = \sqrt[3]{7}\), \(b = \sqrt[3]{3}\).

Подставим:
\(x^3 = 7 — 3 \cdot \sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{3} + 3 \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{3^2} — 3\).

Упростим степени:
\(x^3 = 7 — 3 \sqrt[3]{49} \sqrt[3]{3} + 3 \sqrt[3]{7} \sqrt[3]{9} — 3\).

Объединим радикалы:
\(x^3 = 7 — 3 \sqrt[3]{147} + 3 \sqrt[3]{63} — 3\).

Сгруппируем числа:
\(x^3 = (7 — 3) — 3 \sqrt[3]{147} + 3 \sqrt[3]{63} = 4 — 3 \sqrt[3]{147} + 3 \sqrt[3]{63}\).

Выделим общий множитель:
\(x^3 = 4 — 3 \sqrt[3]{21} (\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3})\).

Так как \(x = \sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3}\), получаем:
\(x^3 = 4 — 3 x \sqrt[3]{21}\).

Перенесём слагаемые:
\(3 x \sqrt[3]{21} = 4 — x^3\).

Отсюда выражаем \(\sqrt[3]{21}\):
\(\sqrt[3]{21} = \frac{4 — x^3}{3 x}\).

Так как \(x \in \mathbb{Q}\), правая часть рациональна, значит \(\sqrt[3]{21}\) рационально. Это противоречит тому, что \(\sqrt[3]{21}\) иррационально.

Следовательно, \(x \notin \mathbb{Q}\), то есть число \(\sqrt[3]{7} — \sqrt[3]{3}\) иррационально.

2) Пусть \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) и предположим, что \(x \in \mathbb{Q}\).

Тогда
\(\sqrt{2} = x — \sqrt{3}\).

Возьмём куб обеих частей:
\((\sqrt{2})^3 = (x — \sqrt{3})^3\).

Левая часть равна:
\((\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\).

Правая часть раскроем по формуле куба разности:
\((x — \sqrt{3})^3 = x^3 — 3 x^2 \sqrt{3} + 3 x (\sqrt{3})^2 — (\sqrt{3})^3\).

Подставим значения:
\(x^3 — 3 x^2 \sqrt{3} + 3 x \cdot 3 — 3 \sqrt{3} = x^3 — 3 x^2 \sqrt{3} + 9 x — 3 \sqrt{3}\).

Приравняем обе части:
\(2 \sqrt{2} = x^3 — 3 x^2 \sqrt{3} + 9 x — 3 \sqrt{3}\).

Перенесём все с радикалами в одну сторону:
\(2 \sqrt{2} + 3 x^2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = x^3 + 9 x\).

Правая часть рациональна, левая — сумма иррациональных чисел с разными корнями \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{3}\), что невозможно.

Таким образом, предположение, что \(x \in \mathbb{Q}\), неверно.

Следовательно, число \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) иррационально.