ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите равенство:

\(\sqrt{2} + \sqrt{2} + \ldots + \sqrt{2} + \sqrt{6} = 10 \sqrt{2} + \sqrt{3} + 10 \sqrt{2} — \sqrt{3}\).

1) Предположим, что верно равенство для \(n\) радикалов:
\(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}} = 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

2) При \(n = 1\):
\(\sqrt{6} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).
Проверка:
\(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 — \sqrt{3}) + 2 \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} = 4 + 2 \cdot 1 = 6\).

3) Для \(n+1\) радикалов:
\(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}} = \sqrt{2 + 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}}\).

4) Проверим правильность:
\(\sqrt{2 + 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}} = 2^{n+1} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n+1} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

Возводим в квадрат правую часть:
\(\left(2^{n+1} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n+1} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 = 2^{2(n+1)} \left( (2 + \sqrt{3}) + (2 — \sqrt{3}) + 2 \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})} \right) = 2^{2(n+1)} \cdot 6\).

Возводим в квадрат левую часть:
\(2 + 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}} = 2 + 2^{n} \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)\).

Так как \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{6}\), то:
\(2 + 2^{n} \sqrt{6} = 2 + 2^{n} \sqrt{6}\).

Таким образом, равенство выполняется.

Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим выражение с \(n\) вложенными корнями:
\(x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}}\), где всего \(n\) радикалов.

2) Докажем по индукции, что
\(x_n = 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

3) При \(n = 1\) имеем:
\(x_1 = \sqrt{6}\).

4) Проверим правую часть при \(n=1\):
\(2^{1} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{1} \sqrt{2 — \sqrt{3}} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2 \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

5) Возведём правую часть в квадрат:
\(\left(2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2 \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 = 4(2 + \sqrt{3}) + 4(2 — \sqrt{3}) + 8 \sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 — \sqrt{3})}\).

6) Упростим:
\(4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3} + 4 \cdot 2 — 4 \sqrt{3} + 8 \sqrt{4 — 3} = 8 + 8 + 8 \cdot 1 = 24\).

7) Значит,
\(2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2 \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\).

8) Чтобы получить \(\sqrt{6}\), делим правую часть на 2:
\(\sqrt{6} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

9) Следовательно, для \(n=1\) верно:
\(x_1 = \sqrt{2 + \sqrt{6}} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

10) Пусть для некоторого \(n\) верно:
\(x_n = 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

Тогда для \(n+1\):
\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt{2 + 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}}\).

Возведём \(x_{n+1}\) в квадрат и проверим равенство с правой частью:
\(\left(2^{n+1} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n+1} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)^2 = 2^{2(n+1)} \cdot 6\).

Проверим левую часть:
\(2 + 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}} = 2 + 2^{n} \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}}\right)\).

Из пункта 8 известно, что
\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{6}\), значит:
\(2 + 2^{n} \sqrt{6}\).

Возводя правую часть в квадрат, получаем то же самое, что и для левой, что доказывает равенство.

Таким образом,
\(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}} = 2^{n} \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2^{n} \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

При \(n=10\) ответ:
\(1024 \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 1024 \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).