ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt[3]{x}\);

2) \(\sqrt[4]{x^7}\);

3) \(\sqrt[6]{c^6}\);

4) \(\sqrt[8]{a^4 b^4}\);

5) \(\sqrt[5]{81}\).

1) \(\sqrt[3]{x}\)

2) \(\sqrt[4]{x^7} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x^3} = x \cdot \sqrt[4]{x^3}\)

3) \(\sqrt[6]{c^6} = c^{\frac{6}{6}} = c\)

4) \(\sqrt[8]{a^4 b^4} = \sqrt[8]{a^4} \cdot \sqrt[8]{b^4} = a^{\frac{4}{8}} \cdot b^{\frac{4}{8}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)

5) \(\sqrt[5]{81} = \sqrt[5]{3^4} = 3^{\frac{4}{5}}\)

1) Выражение \(\sqrt[3]{x}\) уже является корнем третьей степени от \(x\), поэтому его упрощать не нужно. Ответ остается \( \sqrt[3]{x} \).

2) Рассмотрим \(\sqrt[4]{x^7}\). Можно представить \(x^7\) как \(x^4 \cdot x^3\). Тогда корень четвертой степени от произведения равен произведению корней: \(\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x^3}\). Корень четвертой степени от \(x^4\) равен \(x\), так как \(x^{\frac{4}{4}} = x^1 = x\). Значит, выражение упрощается до \(x \cdot \sqrt[4]{x^3}\).

3) Рассмотрим \(\sqrt[6]{c^6}\). Корень шестой степени от \(c^6\) равен \(c^{\frac{6}{6}} = c^1 = c\).

4) Рассмотрим \(\sqrt[8]{a^4 b^4}\). Корень восьмой степени от произведения равен произведению корней: \(\sqrt[8]{a^4} \cdot \sqrt[8]{b^4}\). Корень восьмой степени от \(a^4\) равен \(a^{\frac{4}{8}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\). Аналогично, \(\sqrt[8]{b^4} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}\). Значит, исходное выражение равно \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

5) Рассмотрим \(\sqrt[5]{81}\). Число 81 можно представить как \(3^4\), тогда \(\sqrt[5]{81} = \sqrt[5]{3^4} = 3^{\frac{4}{5}}\).