Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите равенство:
\(\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{14} = \sqrt[6]{6} + \sqrt{35} + \sqrt[6]{6} — \sqrt{35}\).
Пусть \(x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{14}}}}\) с \(n\) радикалами. Предположим, что
\(x_n = \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}}\).
Для \(n=1\):
\(\sqrt{2 + \sqrt{14}} = \sqrt[2]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2]{6 — \sqrt{35}}\).
Возводим правую часть в квадрат:
\(\left(\sqrt[2]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2]{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = (6 + \sqrt{35}) + (6 — \sqrt{35}) + 2\sqrt{(6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35})} = 12 + 2\sqrt{1} = 14\).
Значит, равенство верно для \(n=1\).
Для \(n+1\):
\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt{2 + \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}}}\).
Проверяем:
\(\left(\sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}} + 2\sqrt[2^{n+1}]{(6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35})}\).
Так как \((6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35}) = 1\), то
\(2\sqrt[2^{n+1}]{1} = 2\).
Значит,
\(\left(\sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = x_n + 2\).
Отсюда
\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\).
При \(n=6\) получаем исходное равенство.
1. Пусть \(x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2 + \sqrt{14}}}}\) — выражение с \(n\) радикалами. Предположим, что для любого \(n\) выполняется равенство
\(x_n = \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}}\).
2. Проверим это утверждение при \(n=1\). Тогда
\(x_1 = \sqrt{2 + \sqrt{14}}\).
Согласно предположению,
\(x_1 = \sqrt[2]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2]{6 — \sqrt{35}} = \sqrt{6 + \sqrt{35}} + \sqrt{6 — \sqrt{35}}\).
3. Возведём правую часть в квадрат:
\(\left(\sqrt{6 + \sqrt{35}} + \sqrt{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = (6 + \sqrt{35}) + (6 — \sqrt{35}) + 2\sqrt{(6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35})}\).
4. Вычислим произведение под корнем:
\((6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35}) = 36 — 35 = 1\).
5. Тогда квадрат равен
\(12 + 2\sqrt{1} = 12 + 2 = 14\).
6. Значит,
\(\left(\sqrt{6 + \sqrt{35}} + \sqrt{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = 14\),
то есть
\(\sqrt{2 + \sqrt{14}} = \sqrt{6 + \sqrt{35}} + \sqrt{6 — \sqrt{35}}\).
Утверждение верно для \(n=1\).
7. Предположим, что утверждение верно для некоторого \(n\), то есть
\(x_n = \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}}\).
Тогда для \(n+1\) имеем
\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt{2 + \sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}}}\).
8. Рассмотрим выражение
\(\left(\sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\right)^2\).
Раскроем квадрат:
\(\sqrt[2^n]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^n]{6 — \sqrt{35}} + 2\sqrt[2^{n+1}]{(6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35})}\).
9. Поскольку \((6 + \sqrt{35})(6 — \sqrt{35}) = 1\), то
\(2\sqrt[2^{n+1}]{1} = 2\).
Следовательно,
\(\left(\sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\right)^2 = x_n + 2\).
10. Значит,
\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} = \sqrt[2^{n+1}]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[2^{n+1}]{6 — \sqrt{35}}\).
При \(n=6\) получаем исходное равенство.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.