Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом целом значении \(n\) значение выражения \(n(n + 1)(2n + 1)\) кратно 6.
1) Если \( n = 1 \), тогда: \( 1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \);
2) Рассмотрим разность соседних значений выражения:
\( d = (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1) — n(n + 1)(2n + 1) \);
\( d = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) — n(n + 1)(2n + 1) \);
Раскроем скобки:
\( d = (n + 1)(2n^2 + 3n + 4n + 6) — (2n^2 + n)(n + 1) \);
\( d = (n + 1)(2n^2 + 7n + 6) — (n + 1)(2n^2 + n) \);
Вынесем общий множитель \( (n + 1) \):
\( d = (n + 1)(2n^2 + 7n + 6 — 2n^2 — n) \);
\( d = (n + 1)(6n + 6) = 6(n + 1)^2 \);
Значит, разность соседних значений выражения делится на 6. Так как при \( n = 1 \) значение выражения делится на 6, то при всех \( n \in \mathbb{Z} \) выражение \( n(n + 1)(2n + 1) \) делится на 6.
Что и требовалось доказать.
1) Если \( n = 1 \), тогда вычислим значение выражения: \( 1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \). Значит, при \( n = 1 \) выражение делится на 6.
2) Рассмотрим разность между значениями выражения при \( n + 1 \) и при \( n \):
\( d = (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1) — n(n + 1)(2n + 1) \).
3) Подставим и упростим скобки:
\( d = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) — n(n + 1)(2n + 1) \).
4) Раскроем скобки в первом слагаемом:
\( (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = (n + 1)( (n + 2)(2n + 3) ) \).
Вычислим \( (n + 2)(2n + 3) = 2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + 7n + 6 \).
Значит, первое слагаемое равно \( (n + 1)(2n^2 + 7n + 6) \).
5) Второе слагаемое раскрываем:
\( n(n + 1)(2n + 1) = (n + 1)(n)(2n + 1) = (n + 1)(2n^2 + n) \).
6) Теперь подставим оба слагаемых:
\( d = (n + 1)(2n^2 + 7n + 6) — (n + 1)(2n^2 + n) \).
7) Вынесем общий множитель \( (n + 1) \):
\( d = (n + 1)(2n^2 + 7n + 6 — 2n^2 — n) \).
8) Упростим внутри скобок:
\( 2n^2 + 7n + 6 — 2n^2 — n = 6n + 6 \).
Значит, \( d = (n + 1)(6n + 6) \).
9) Вынесем общий множитель 6:
\( d = 6 (n + 1)(n + 1) = 6 (n + 1)^2 \).
10) Получили, что разность соседних значений выражения равна \( 6 (n + 1)^2 \), то есть делится на 6. Поскольку при \( n = 1 \) значение выражения делится на 6, то по индукции для всех целых \( n \) выражение \( n(n + 1)(2n + 1) \) делится на 6. Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.