ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все натуральные значения \(n\), при которых является целым числом значение выражения \(\frac{2n + 11}{n + 3}\).

\( \frac{2n + 11}{n + 3} = \frac{2n + 6 + 5}{n + 3} = \frac{2(n + 3) + 5}{n + 3} = 2 + \frac{5}{n + 3} \)

Чтобы выражение было целым числом, \( \frac{5}{n + 3} \) должно быть целым числом.

Делители 5: 1 и 5 (только положительные, так как \( n \) натуральное).

1) \( n + 3 = 1 \Rightarrow n = -2 \) — не натуральное.

2) \( n + 3 = 5 \Rightarrow n = 2 \) — натуральное.

Ответ: \( 2 \)

1. Рассмотрим выражение \( \frac{2n + 11}{n + 3} \).

2. Разделим числитель на знаменатель с выделением целой части: \( 2n + 11 = 2(n + 3) + 5 \).

3. Тогда выражение можно переписать так: \( \frac{2(n + 3) + 5}{n + 3} = 2 + \frac{5}{n + 3} \).

4. Чтобы выражение было целым числом, дробь \( \frac{5}{n + 3} \) должна быть целым числом.

5. Значит, \( n + 3 \) должен быть делителем числа 5.

6. Делители числа 5 — это 1 и 5 (рассматриваем только положительные, так как \( n \) — натуральное число).

7. Рассмотрим первый случай: \( n + 3 = 1 \Rightarrow n = -2 \), это не натуральное число.

8. Рассмотрим второй случай: \( n + 3 = 5 \Rightarrow n = 2 \), это натуральное число.

9. Значит, единственное натуральное значение \( n \), при котором выражение целое, это \( n = 2 \).

10. Ответ: 2.