ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt{x}\);

2) \(\sqrt[4]{y}\);

3) \(\sqrt[3]{a}\);

4) \(\sqrt[4]{a^4 b^7}\);

5) \(\sqrt[6]{x}\);

6) \(\sqrt[2]{y}\).

1) \(\sqrt[6]{\sqrt{x}} = \sqrt[6]{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}\)

2) \(\sqrt[4]{\sqrt{y}} = \sqrt[4]{y^{\frac{1}{2}}} = y^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{y}\)

3) \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[3]{a^{\frac{3}{4}}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}\)

4) \(\sqrt[21]{a^{14} b^{7}} = a^{\frac{14}{21}} b^{\frac{7}{21}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^{2} b}\)

5) \(\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^{6}} = 2^{\frac{6}{9}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}\)

6) \(\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}\)

1) Внутри корня шестой степени стоит квадратный корень из \(x\), который можно записать как \(x^{\frac{1}{2}}\). Тогда выражение становится \(\sqrt[6]{x^{\frac{1}{2}}}\). Корень шестой степени — это степень с показателем \(\frac{1}{6}\), значит, умножаем показатели степеней: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Итог: \(x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}\).

2) Внутри корня четвёртой степени стоит квадратный корень из \(y\), который равен \(y^{\frac{1}{2}}\). Значит, выражение \(\sqrt[4]{y^{\frac{1}{2}}}\) равно \(y^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{y}\).

3) Внутри корня третьей степени стоит корень четвёртой степени из \(a^{3}\), что равно \(a^{\frac{3}{4}}\). Значит, \(\sqrt[3]{a^{\frac{3}{4}}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}\).

4) Корень двадцать первой степени от произведения \(a^{14} b^{7}\) равен \(a^{\frac{14}{21}} b^{\frac{7}{21}}\). Сокращаем дроби: \(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\), \(\frac{7}{21} = \frac{1}{3}\). Получаем \(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^{2} b}\).

5) Число 64 можно представить как \(2^{6}\). Тогда \(\sqrt[9]{64} = \sqrt[9]{2^{6}} = 2^{\frac{6}{9}} = 2^{\frac{2}{3}}\). Это равно \(\sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[3]{4}\).

6) Квадратный корень из \(y\) записывается как \(y^{\frac{1}{2}}\).