ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \(\sqrt{16}\);

2) \(\sqrt{162}\);

3) \(\sqrt[3]{250}\);

4) \(\sqrt[4]{7290}\);

5) \(\sqrt{40a^5}\);

6) \(\sqrt[3]{-a^7}\);

7) \(\sqrt[7]{-54a^5 b^9}\);

8) \(\sqrt[3]{-108a^7 b^{10}}\).

1) \(\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2 \sqrt[3]{2}\)

2) \(\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = 3 \sqrt[4]{2}\)

3) \(\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 5 \sqrt[3]{2}\)

4) \(\sqrt[6]{7290} = \sqrt[6]{729 \cdot 10} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 10} = 3 \sqrt[6]{10}\)

5) \(\sqrt[3]{40 a^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2} = 2 a \sqrt[3]{5 a^2}\)

6) \(\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{-a^6 \cdot a} = \sqrt[3]{-(a^2)^3 \cdot a} = — a^2 \sqrt[3]{a}\)

7) \(\sqrt[3]{-54 a^5 b^9} = \sqrt[3]{-27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^9} = \sqrt[3]{-3^3 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot (b^3)^3} = -3 a b^3 \sqrt[3]{2 a^2}\)

8) \(\sqrt[3]{-108 a^7 b^{10}} = \sqrt[3]{-27 \cdot 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^9 \cdot b} = \sqrt[3]{-3^3 \cdot 4 \cdot (a^2)^3 \cdot a \cdot (b^3)^3 \cdot b} = -3 a^2 b^3 \sqrt[3]{4 a b}\)

1) \( \sqrt[3]{16} \). Число 16 можно представить как произведение \(8 \cdot 2\). Так как \(8 = 2^3\), получаем \(16 = 2^3 \cdot 2\). Тогда корень третьей степени из 16 равен \( \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \sqrt[3]{2} \).

2) \( \sqrt[4]{162} \). Число 162 раскладываем на \(81 \cdot 2\). Известно, что \(81 = 3^4\), значит \(162 = 3^4 \cdot 2\). Тогда корень четвертой степени из 162 равен \( \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3 \sqrt[4]{2} \).

3) \( \sqrt[3]{250} \). Число 250 представим как \(125 \cdot 2\). Так как \(125 = 5^3\), то \(250 = 5^3 \cdot 2\). Следовательно, \( \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5 \sqrt[3]{2} \).

4) \( \sqrt[6]{7290} \). Разложим 7290 на \(729 \cdot 10\). Известно, что \(729 = 3^6\), поэтому \(7290 = 3^6 \cdot 10\). Тогда \( \sqrt[6]{7290} = \sqrt[6]{3^6 \cdot 10} = \sqrt[6]{3^6} \cdot \sqrt[6]{10} = 3 \sqrt[6]{10} \).

5) \( \sqrt[3]{40 a^5} \). Число 40 раскладываем как \(8 \cdot 5\), а степень \(a^5\) как \(a^3 \cdot a^2\). Значит, \(40 a^5 = 8 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2 = 2^3 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2\). Тогда \( \sqrt[3]{40 a^5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a^2} = 2 a \sqrt[3]{5 a^2} \).

6) \( \sqrt[3]{-a^7} \). Представим \(a^7\) как \(a^6 \cdot a\), тогда \(-a^7 = -a^6 \cdot a = -(a^2)^3 \cdot a\). Следовательно, \( \sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{-(a^2)^3 \cdot a} = \sqrt[3]{-(a^2)^3} \cdot \sqrt[3]{a} = -a^2 \sqrt[3]{a} \).

7) \( \sqrt[3]{-54 a^5 b^9} \). Число -54 раскладываем на \(-27 \cdot 2\), а степени переменных как \(a^5 = a^3 \cdot a^2\), \(b^9 = (b^3)^3\). Значит, \(-54 a^5 b^9 = -27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot (b^3)^3 = -3^3 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot (b^3)^3\). Тогда \( \sqrt[3]{-54 a^5 b^9} = \sqrt[3]{-3^3 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot (b^3)^3} = \sqrt[3]{-3^3} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{(b^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2 a^2} = -3 a b^3 \sqrt[3]{2 a^2} \).

8) \( \sqrt[3]{-108 a^7 b^{10}} \). Число -108 раскладываем на \(-27 \cdot 4\), степени переменных как \(a^7 = a^6 \cdot a = (a^2)^3 \cdot a\), \(b^{10} = b^9 \cdot b = (b^3)^3 \cdot b\). Значит, \(-108 a^7 b^{10} = -27 \cdot 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^9 \cdot b = -3^3 \cdot 4 \cdot (a^2)^3 \cdot a \cdot (b^3)^3 \cdot b\). Тогда \( \sqrt[3]{-108 a^7 b^{10}} = \sqrt[3]{-3^3 \cdot 4 \cdot (a^2)^3 \cdot a \cdot (b^3)^3 \cdot b} = \sqrt[3]{-3^3} \cdot \sqrt[3]{(a^2)^3} \cdot \sqrt[3]{(b^3)^3} \cdot \sqrt[3]{4 a b} = -3 a^2 b^3 \sqrt[3]{4 a b} \).