ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(b\) — положительное число. Представьте в виде куба выражение: 1) \(b^{2}\); 2) \(b^{1}\); 3) \(b^{5}\); 4) \(b^{-1.8}\); 5) \(b^{3}\).

1) \(b^2=b^{\frac{2}{3}\cdot 3}=\left(b^{\frac{2}{3}}\right)^3=\left(\sqrt[3]{b^2}\right)^3\).

2) \(b^{\frac{1}{2}}=b^{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{3}}=b^{\frac{3}{6}}=\left(b^{\frac{1}{6}}\right)^3=\left(\sqrt[6]{b}\right)^3\).

3) \(b^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3}}=b^{\frac{3}{9}}=\left(b^{\frac{1}{9}}\right)^3=\left(\sqrt[9]{b}\right)^3\).

4) \(b^{-1{,}8}=b^{-\frac{18}{10}}=b^{-\frac{9}{5}}=b^{-\frac{3\cdot 3}{5}}=\left(b^{-\frac{3}{5}}\right)^3=\left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^3}}\right)^3\).

5) \(b^{11}=b^{\frac{11\cdot 3}{3}}=b^{\frac{33}{3}}=\left(b^{\frac{11}{3}}\right)^3=\left(\sqrt[33]{b^7}\right)^3\).

1) Рассмотрим преобразование степени через правило \(a^{mn}=(a^m)^n\). Запишем \(b^2\) как степень с показателем, кратным 3: \(2=\frac{2}{3}\cdot 3\). Тогда \(b^2=b^{\frac{2}{3}\cdot 3}=\left(b^{\frac{2}{3}}\right)^3\). Показатель \(\frac{2}{3}\) означает корень третьей степени от \(b^2\): \(b^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{b^2}\). Следовательно, \(b^2=\left(\sqrt[3]{b^2}\right)^3\). Так мы представили исходное выражение как куб, используя переход от показателя к корню и обратное возведение в степень.

2) Здесь цель та же: добиться показателя, кратного 3. Имеем \(b^{\frac{1}{2}}\). Умножим показатель на единицу \(\frac{3}{3}\), не изменив значения: \(b^{\frac{1}{2}}=b^{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{3}}=b^{\frac{3}{6}}\). Теперь выделим куб: \(\frac{3}{6}=\frac{1}{6}\cdot 3\), поэтому \(b^{\frac{3}{6}}=\left(b^{\frac{1}{6}}\right)^3\). Далее интерпретируем \(b^{\frac{1}{6}}\) как корень шестой степени: \(b^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}\). В итоге \(b^{\frac{1}{2}}=\left(\sqrt[6]{b}\right)^3\). Ключевые шаги: умножение показателя на 1, разбиение показателя на произведение с 3 и переход к корню.

3) Аналогично для \(b^{\frac{1}{3}}\) делаем показатель кратным 3: умножаем на \(\frac{3}{3}\): \(b^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{3}}=b^{\frac{3}{9}}\). Поскольку \(\frac{3}{9}=\frac{1}{9}\cdot 3\), получаем \(b^{\frac{3}{9}}=\left(b^{\frac{1}{9}}\right)^3\). Дальше распознаём \(b^{\frac{1}{9}}\) как девятый корень: \(b^{\frac{1}{9}}=\sqrt[9]{b}\). Следовательно, \(b^{\frac{1}{3}}=\left(\sqrt[9]{b}\right)^3\). Здесь используется та же структура рассуждений: нормализация показателя и перевод в форму куба через корень нужной степени.

4) Рассмотрим отрицательную степень \(b^{-1{,}8}\). Сначала переведём десятичную дробь в обыкновенную: \(-1{,}8=-\frac{18}{10}=-\frac{9}{5}\). Разложим показатель как произведение \(-\frac{9}{5}=-\frac{3\cdot 3}{5}\), то есть \(b^{-\frac{9}{5}}=\left(b^{-\frac{3}{5}}\right)^3\). Теперь интерпретируем отрицательную степень: \(b^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{b^{\frac{3}{5}}}=\frac{1}{\left(b^{\frac{3}{5}}\right)}\). Степень \(\frac{3}{5}\) это корень пятой степени от \(b^3\): \(b^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{b^3}\). Тогда \(b^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{b^3}}\), и, следовательно, \(b^{-1{,}8}=\left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^3}}\right)^3\). Здесь важно аккуратно обработать знак и перейти от дробного отрицательного показателя к форме с корнем в знаменателе, после чего всё возводится в третью степень.

5) Для положительной целой степени \(b^{11}\) приведём показатель к виду произведения с 3: \(11=\frac{33}{3}\). Тогда \(b^{11}=b^{\frac{33}{3}}=\left(b^{\frac{11}{3}}\right)^3\). Чтобы выразить \(b^{\frac{11}{3}}\) через корень, используем равенство \(a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\): получаем \(b^{\frac{11}{3}}=\sqrt[3]{b^{11}}\). Однако по образцу представления через общий корень степени, кратной 33, также верно \(b^{\frac{11}{3}}=\sqrt[33]{b^{11\cdot 11}}=\sqrt[33]{b^{121}}\), но это избыточно. Более удобная каноническая форма в духе предыдущих пунктов получается через приведение к корню степени 33: заметим, что \(b^{\frac{11}{3}}=\left(b^{\frac{7}{33}}\cdot b^{\frac{4}{33}}\right)\) не упрощает запись. Поэтому оставим компактно \(b^{11}=\left(b^{\frac{11}{3}}\right)^3=\left(\sqrt[3]{b^{11}}\right)^3\). Если требуется именно корень степени 33, можно эквивалентно записать \(b^{11}=\left(\sqrt[33]{b^{11}}\right)^3\) некорректно по размерности показателя 3, поэтому корректной развернутой формой является \(b^{11}=\left(\sqrt[3]{b^{11}}\right)^3\).