ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Раскройте скобки:
1) \((5a^{0,4} + b^{0,2})(3a^{0,4} — 4b^{0,2})\);
2) \((m^{0,5} + n^{0,5})(m^{0,5} — n^{0,5})\);
3) \(\left(a^{\frac{1}{3}} — 5b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{\frac{1}{4}}\right)\);
4) \(\left(m^{\frac{1}{2}} — n^{\frac{1}{2}}\right)^{2}\);
5) \(\left(b^{\frac{4}{3}} — b^{\frac{2}{3}}\right)^{2}\);
6) \(\left(x^{6} + 2\right)\left(x^{3} — 2x^{6} + 4\right)\);
7) \(\left(y^{1,5} — 4y^{0,5}\right)^{2} + 8y^{2}\);
8) \(\left(a^{8} — 1\right)\left(a^{4} + 1\right)\left(a^{8} + 1\right)\).

1) Перемножаем двучлены по правилу раскрытия скобок: \((5a^{0.4}+b^{0.2})(3a^{0.4}-4b^{0.2})=15a^{0.8}-20a^{0.4}b^{0.2}+3a^{0.4}b^{0.2}-4b^{0.4}=\)
\(=15a^{0.8}-17a^{0.4}b^{0.2}-4b^{0.4}\). Перевод показателей: \(a^{0.8}=a^{\frac{4}{5}},\ a^{0.4}b^{0.2}=a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{1}{5}},\ b^{0.4}=b^{\frac{2}{5}}\).

2) Формула разности квадратов для степеней: \((m^{0.5}+n^{0.5})(m^{0.5}-n^{0.5})=m^{1}-n^{1}=m-n\).

3) Используем \((a^{\frac{1}{3}}-5b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}}+5b^{\frac{1}{4}})=a^{\frac{2}{3}}-25b^{\frac{1}{2}}\). Перевод: \(a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^{2}},\ b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{b}\).

4) Квадрат разности: \((m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}})^{2}=m-2\sqrt{mn}+n\).

5) Квадрат разности с дробными степенями: \((b^{\frac{4}{3}}-b^{\frac{2}{3}})^{2}=b^{\frac{8}{3}}-2b^{\frac{6}{3}}+b^{\frac{4}{3}}=b^{\frac{8}{3}}-2b^{2}+b^{\frac{4}{3}}\). Перевод: \(b^{\frac{8}{3}}=\sqrt[3]{b^{8}},\ b^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{b^{4}}\).

6) Умножение многочленов по степенным правилам: \((x^{6}+2)(x^{3}-2x^{6}+4)=x^{9}-2x^{12}+4x^{6}+2x^{3}-4x^{6}+8=x^{9}-2x^{12}+\)
\(+2x^{3}+8\). Сокращение \(4x^{6}-4x^{6}=0\).

7) Квадрат двучлена и приведение: \((y^{1.5}-4y^{0.5})^{2}+8y^{2}=y^{3}-8y^{1.5}+16y+8y^{2}=y^{3}+8y^{2}-8y^{1.5}+16y\).

8) Группировка и формула разности квадратов: \((a^{8}-1)(a^{2}+1)(a^{8}+1)=(a^{16}-1)(a^{2}+1)=((a^{8})^{2}-1^{2})(a^{2}+1)=\)
\(=(a^{4}-1)(a^{4}+1)(a^{2}+1)\). Далее \((a^{4}-1)=(a^{2}-1)(a^{2}+1)\), значит весь продукт равен \((a^{2}-1)(a^{2}+1)^{2}(a^{4}+1)\).

1) Перемножаем двучлены по правилу дистрибутивности: каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй скобки. Получаем \((5a^{0.4}+b^{0.2})(3a^{0.4}-4b^{0.2})=5a^{0.4}\cdot3a^{0.4}+5a^{0.4}\cdot(-4b^{0.2})+b^{0.2}\cdot3a^{0.4}+\)
\(+b^{0.2}\cdot(-4b^{0.2})\). Считаем степени при умножении одноимённых оснований: \(a^{0.4}a^{0.4}=a^{0.8}\), \(b^{0.2}b^{0.2}=b^{0.4}\). Приводим коэффициенты: \(15a^{0.8}-20a^{0.4}b^{0.2}+3a^{0.4}b^{0.2}-4b^{0.4}=15a^{0.8}-17a^{0.4}b^{0.2}-4b^{0.4}\). Для наглядности переводим дробные показатели: \(a^{0.8}=a^{\frac{4}{5}},\ a^{0.4}b^{0.2}=a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{1}{5}},\ b^{0.4}=b^{\frac{2}{5}}\). Итог: \((5a^{0.4}+b^{0.2})(3a^{0.4}-4b^{0.2})=15a^{\frac{4}{5}}-17a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{1}{5}}-4b^{\frac{2}{5}}\).

2) Узнаём формулу разности квадратов в степени: \((m^{0.5}+n^{0.5})(m^{0.5}-n^{0.5})=(m^{0.5})^{2}-(n^{0.5})^{2}\). Так как \((m^{0.5})^{2}=m\) и \((n^{0.5})^{2}=n\), то получаем \(m-n\). Здесь важно отметить, что \((x^{\alpha})^{2}=x^{2\alpha}\), а при \(\alpha=0.5\) имеем \(2\alpha=1\), то есть показатель превращается в целое, что и даёт упрощение.

3) Применяем ту же идею разности квадратов, но с разными основаниями: \((a^{\frac{1}{3}}-5b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}}+5b^{\frac{1}{4}})=(a^{\frac{1}{3}})^{2}-(5b^{\frac{1}{4}})^{2}=a^{\frac{2}{3}}-25b^{\frac{1}{2}}\). Здесь квадрат коэффициента \(5\) даёт \(25\), а квадрат \(b^{\frac{1}{4}}\) даёт \(b^{\frac{1}{2}}\). Для интерпретации корней: \(a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^{2}}\) и \(b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{b}\). Ответ: \(a^{\frac{2}{3}}-25b^{\frac{1}{2}}\).

4) Квадрат разности для корней: \((m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}})^{2}=(m^{\frac{1}{2}})^{2}-2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}+(n^{\frac{1}{2}})^{2}=m-2\sqrt{mn}+n\). Замечаем, что \(m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}}=(mn)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{mn}\). Таким образом, средний член в развёрнутой формуле квадрата двучлена превращается в удвоенное произведение корней, что даёт типичное выражение \(m-2\sqrt{mn}+n\).

5) Квадрат разности степеней с одинаковым основанием \(b\): \((b^{\frac{4}{3}}-b^{\frac{2}{3}})^{2}=(b^{\frac{4}{3}})^{2}-2b^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}+(b^{\frac{2}{3}})^{2}=b^{\frac{8}{3}}-2b^{\frac{6}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\). Суммируем показатели при произведении: \(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\). Преобразуем: \(b^{\frac{8}{3}}-2b^{2}+b^{\frac{4}{3}}\). Интерпретация через корни: \(b^{\frac{8}{3}}=\sqrt[3]{b^{8}}\) и \(b^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{b^{4}}\). Ответ: \(b^{\frac{8}{3}}-2b^{2}+b^{\frac{4}{3}}\).

6) Перемножаем многочлены, аккуратно соблюдая степени: \((x^{6}+2)(x^{3}-2x^{6}+4)=x^{6}\cdot x^{3}+x^{6}\cdot(-2x^{6})+x^{6}\cdot4+2\cdot x^{3}+\)
\(+2\cdot(-2x^{6})+2\cdot4\). Считаем: \(x^{6}x^{3}=x^{9}\), \(x^{6}x^{6}=x^{12}\). Приводим подобные: \(x^{9}-2x^{12}+4x^{6}+2x^{3}-4x^{6}+8=x^{9}-2x^{12}+2x^{3}+8\). Здесь члены \(4x^{6}\) и \(-4x^{6}\) сокращаются. Ответ: \(x^{9}-2x^{12}+2x^{3}+8\).

7) Сначала раскрываем квадрат двучлена: \((y^{1.5}-4y^{0.5})^{2}=(y^{1.5})^{2}-2\cdot y^{1.5}\cdot4y^{0.5}+(4y^{0.5})^{2}=y^{3}-8y^{2.0}+16y\). Пояснение степеней: \((y^{1.5})^{2}=y^{3}\), а \(y^{1.5}y^{0.5}=y^{2.0}=y^{2}\), и \((4y^{0.5})^{2}=16y^{1}\). Затем добавляем \(8y^{2}\): \(y^{3}-8y^{2}+16y+8y^{2}=y^{3}+16y\). Средние квадратичные члены \(-8y^{2}\) и \(+8y^{2}\) взаимно уничтожаются. Ответ: \(y^{3}+16y\).

8) Группируем множители, чтобы применить формулы сокращённого умножения. Имеем \((a^{8}-1)(a^{2}+1)(a^{8}+1)\). Сначала умножаем \((a^{8}-1)(a^{8}+1)=(a^{8})^{2}-1^{2}=a^{16}-1\) по формуле разности квадратов. Получаем \((a^{16}-1)(a^{2}+1)\). Далее раскладываем \(a^{16}-1\) на множители: \(a^{16}-1=(a^{8}-1)(a^{8}+1)=(a^{4}-1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)\), а \(a^{4}-1=(a^{2}-1)(a^{2}+1)\). Учитывая присутствующий множитель \((a^{2}+1)\), итоговая факторизация удобна как \((a^{2}-1)(a^{2}+1)^{2}(a^{4}+1)(a^{8}+1)\). Если нужно только сократить без дальнейшей развертки, можно оставить результат умножения как \((a^{16}-1)(a^{2}+1)\), но наиболее информативная разложенная форма показывает полное разложение на стандартные множители: \((a^{2}-1)(a^{2}+1)^{2}(a^{4}+1)(a^{8}+1)\).