ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте данное выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) \(a — b\);
2) \(a^3 — b^3\);
3) \(21 — 3\);
4) \(23 — y^7\).

1) \(a — b = a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\); Ответ: \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\).

2) \(a^3 — b^3 = a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\); Ответ: \((\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\).

3) \(x — 3 = x^4 — 3^2 = (x^2 — 3)(x^2 + 3) = (\sqrt{x} — \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})\); Ответ: \((\sqrt{x} — \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})\).

4) \(x — y = x \cdot y^{1/2} = (x^{1/2} — y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2}) = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\); Ответ: \((\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).

1) Рассмотрим выражение \(a — b\). Мы знаем, что разность квадратов можно представить как произведение сопряженных выражений. Таким образом, \(a — b = a^2 — b^2\), что соответствует формуле разности квадратов.

Далее, применяя эту формулу, мы раскладываем \(a^2 — b^2\) на множители как \((a — b)(a + b)\). Но поскольку \(a\) и \(b\) можно представить через их квадратные корни, мы переписываем это выражение как \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\).

Это и есть конечный результат разложения. Ответ: \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\).

2) Перейдем к выражению \(a^3 — b^3\). Это разность кубов, для которой существует стандартная формула разложения. Мы можем записать \(a^3 — b^3\) как \((a — b)(a^2 + ab + b^2)\), что является классическим разложением разности кубов.

Далее, чтобы привести это к виду, соответствующему примеру, мы учитываем, что \(a\) и \(b\) можно выразить через их кубические корни. Таким образом, \(a — b\) преобразуется в \((\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})\), а второй множитель \(a^2 + ab + b^2\) — в \((\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\).

Итоговое разложение выглядит следующим образом. Ответ: \((\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\).

3) Рассмотрим выражение \(x — 3\). Согласно условию, его нужно представить как разность квадратов. Мы замечаем, что \(x — 3\) можно интерпретировать как \(x^2 — 3^2\), если рассматривать \(x\) как квадрат некоего значения.

Применяя формулу разности квадратов, мы раскладываем \(x^2 — 3^2\) на множители как \((x^2 — 3)(x^2 + 3)\). Однако, чтобы соответствовать примеру, мы переходим к корням: \(x^2\) можно представить как \((\sqrt{x})^2\), а \(3\) как \((\sqrt{3})^2\).

Таким образом, разложение принимает вид \((\sqrt{x} — \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})\). Ответ: \((\sqrt{x} — \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})\).

4) Наконец, разберем выражение \(x — y\). В условии указано, что это равно \(x \cdot y^{1/2}\), но мы должны интерпретировать его как разность квадратов корней. Предположим, что \(x\) и \(y\) рассматриваются как квадраты, то есть \(x = (x^{1/2})^2\) и \(y = (y^{1/2})^2\).

Тогда \(x — y\) можно записать как \((x^{1/2})^2 — (y^{1/2})^2\), что по формуле разности квадратов раскладывается на \((x^{1/2} — y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2})\).

Это же выражение в терминах корней выглядит как \((\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\). Ответ: \((\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).