ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) \(a^5 — b^5\);

2) \(x^d — y^s\);

3) \(5 — c\);

4) \(1620,3 — 2549\).

Разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

1) \(a^5 — b^5 = a^{\frac{5 \cdot 2}{2}} — b^{\frac{5 \cdot 2}{2}} = \left(a^2 — b^2\right)\left(a^2 + b^2\right) = \left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right);\)
Ответ: \(\left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right).\)

2) \(x^{\frac{1}{6}} — y^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{12}} — y^{\frac{2}{12}} = \left(x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}}\right)\left(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}}\right) = \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\)

\(\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right);\)
Ответ: \(\left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right).\)

3) \(5 — c = 5^2 — c^{\frac{2}{2}} = \left(5^{\frac{1}{2}} — c^{\frac{1}{2}}\right)\left(5^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}\right) = (\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c});\)
Ответ: \((\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c}).\)

4) \(16x^{0.3} — 25y^9 = 16x^{\frac{3}{10}} — 25y^9 = 4^2 \cdot x^{\frac{6}{20}} — 5^2 \cdot y^9 = \left(4x^{\frac{3}{20}} — 5y^{\frac{9}{2}}\right)\)
\(\left(4x^{\frac{3}{20}} + 5y^{\frac{9}{2}}\right) = \left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt{y}\right);\)
Ответ: \(\left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt{y}\right).\)

Для разложения выражения на множители с использованием формулы разности квадратов, важно понять суть самой формулы. Формула разности квадратов гласит, что для любых чисел или выражений \(A\) и \(B\) справедливо равенство: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Это означает, что если выражение можно представить в виде разности квадратов двух выражений, то оно раскладывается на произведение двух скобок — разности и суммы этих выражений. В каждом из приведённых примеров мы пытаемся представить исходное выражение в форме \(A^2 — B^2\), чтобы затем применить эту формулу.

Рассмотрим первый пример: \(a^5 — b^5\). Сначала мы записываем степени так, чтобы получить квадратные степени: \(a^5 = (a^{\frac{5}{2}})^2\) и \(b^5 = (b^{\frac{5}{2}})^2\). Таким образом, выражение становится \(a^{5} — b^{5} = (a^{\frac{5}{2}})^2 — (b^{\frac{5}{2}})^2\). Теперь мы видим разность квадратов двух выражений: \(a^{\frac{5}{2}}\) и \(b^{\frac{5}{2}}\). Применяя формулу, получаем разложение: \((a^{\frac{5}{2}} — b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})\). Для удобства выражения можно переписать в виде корней: \(a^{\frac{5}{2}} = \sqrt{a^5}\), \(b^{\frac{5}{2}} = \sqrt{b^5}\). Итоговое разложение: \((\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5})(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5})\).

Во втором примере выражение \(x^{\frac{1}{6}} — y^{\frac{1}{6}}\) преобразуем к виду разности квадратов. Для этого возьмём степень \( \frac{1}{6} \) и представим её как \( \frac{2}{12} \), то есть \(x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{12}} = (x^{\frac{1}{12}})^2\), аналогично для \(y\). Тогда исходное выражение становится \(x^{\frac{2}{12}} — y^{\frac{2}{12}} = (x^{\frac{1}{12}})^2 — (y^{\frac{1}{12}})^2\). Теперь применяем формулу разности квадратов: \((x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})\). Записывая степени в виде корней, получаем \((\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y})(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y})\).

В третьем примере выражение \(5 — c\) переписываем как \(5^1 — c^1\), но чтобы применить формулу разности квадратов, представим степени как \(5^{\frac{2}{2}} — c^{\frac{2}{2}}\), что равно \((5^{\frac{1}{2}})^2 — (c^{\frac{1}{2}})^2\). Это позволяет записать выражение как разность квадратов: \((\sqrt{5})^2 — (\sqrt{c})^2\). По формуле раскладываем: \((\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})\).

В четвёртом примере более сложное выражение \(16x^{0.3} — 25y^9\) сначала нужно привести к форме разности квадратов. Числа 16 и 25 — это квадраты 4 и 5 соответственно, то есть \(16 = 4^2\), \(25 = 5^2\). Степень \(x^{0.3}\) можно представить как \(x^{\frac{3}{10}}\). Чтобы получить квадрат, степень умножаем на 2: \(x^{0.3} = x^{\frac{3}{10}} = (x^{\frac{3}{20}})^2\). Аналогично для \(y^9 = (y^{\frac{9}{2}})^2\). Тогда исходное выражение переписывается как \(4^2 \cdot (x^{\frac{3}{20}})^2 — 5^2 \cdot (y^{\frac{9}{2}})^2\), что равно \(\left(4 x^{\frac{3}{20}}\right)^2 — \left(5 y^{\frac{9}{2}}\right)^2\). Применяем формулу разности квадратов и получаем: \(\left(4 x^{\frac{3}{20}} — 5 y^{\frac{9}{2}}\right)\left(4 x^{\frac{3}{20}} + 5 y^{\frac{9}{2}}\right)\). В терминах корней это можно записать как \(\left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt{y}\right)\). Таким образом, мы последовательно преобразовали выражение к виду разности квадратов и применили формулу для разложения на множители.