ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) \(a — b\);
2) \(a^{1,5} — b^{1,5}\);
3) \(m^{0,6} — 871,8\);
4) \(x^7 — 6\).

1) \( a — b = a^3 — b^3 = (a^3 — b^3)(a^3 + a^3b^3 + b^3) = ( \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} )(a^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^2) \)

2) \( a^{1.5} — b^{1.5} = a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}) =\)
\(= ( \sqrt{a} — \sqrt{b} )(a + \sqrt{a}\sqrt{b} + b) \)

3) \( m^{0.6} — 8n^{1.8} = m^{\frac{3}{5}} — 8n^{\frac{9}{5}} = (m^{\frac{3}{5}} — 2n^{\frac{9}{5}})(m^{\frac{3}{5}} + 2m^{\frac{3}{5}}n^{\frac{9}{5}} + 2n^{\frac{18}{5}}) =\)
\(= ( \sqrt[5]{m^3} — 2\sqrt[5]{n^9} )(\sqrt[5]{m^2} + 2m^{\frac{3}{5}}n^{\frac{9}{5}} + 4n^{\frac{6}{5}}) \)

4) \( x^6 — y^6 = (x^2)^3 — (y^2)^3 = (x^2 — y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) =\)
\(= (x — y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \)

1) Разложим выражение \( a — b \) на множители, используя формулу разности кубов. Заметим, что \( a — b \) можно представить как \( a^3 — b^3 \), если рассматривать \( a \) и \( b \) как кубы некоторых выражений. Формула разности кубов гласит, что \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Подставляя, получаем \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), что соответствует \( (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(a^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^2) \), если выразить \( a \) и \( b \) через их кубические корни.

Таким образом, итоговое разложение выглядит как \( a — b = a^3 — b^3 = (a^3 — b^3)(a^3 + a^3b^3 + b^3) = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(a^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^2) \).

2) Рассмотрим выражение \( a^{1.5} — b^{1.5} \). Заметим, что \( a^{1.5} = a^{\frac{3}{2}} \) и \( b^{1.5} = b^{\frac{3}{2}} \), что позволяет применить формулу разности кубов для степеней \( \frac{3}{2} \). Формула разности кубов в общем виде: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \). Подставляя \( x = a^{\frac{1}{2}} \) и \( y = b^{\frac{1}{2}} \), получаем \( a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) \).

Следовательно, разложение принимает вид \( a^{1.5} — b^{1.5} = a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}) =\)

\(= (\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{a}\sqrt{b} + b) \).

3) Перейдем к выражению \( m^{0.6} — 8n^{1.8} \). Сначала преобразуем степени: \( m^{0.6} = m^{\frac{3}{5}} \) и \( 8n^{1.8} = 8n^{\frac{9}{5}} = (2n^{\frac{3}{5}})^3 \). Таким образом, выражение становится \( m^{\frac{3}{5}} — (2n^{\frac{3}{5}})^3 \), что соответствует разности кубов. Используем формулу \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \), где \( x = m^{\frac{1}{5}} \) и \( y = 2n^{\frac{3}{5}} \).

Подставляя, получаем разложение \( m^{\frac{3}{5}} — 8n^{\frac{9}{5}} = (m^{\frac{3}{5}} — 2n^{\frac{9}{5}})(m^{\frac{3}{5}} + 2m^{\frac{3}{5}}n^{\frac{9}{5}} + (2n^{\frac{9}{5}})) \). Упрощая, это равно \( (\sqrt[5]{m^3} — 2\sqrt[5]{n^9})(\sqrt[5]{m^2} + 2m^{\frac{3}{5}}n^{\frac{9}{5}} + 4n^{\frac{6}{5}}) \).

4) Наконец, разберем выражение \( x^6 — y^6 \). Это разность шестых степеней, которую можно представить как разность кубов: \( x^6 = (x^2)^3 \) и \( y^6 = (y^2)^3 \). Применяем формулу \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = x^2 \), \( b = y^2 \). Получаем \( x^6 — y^6 = (x^2 — y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \).

Далее, \( x^2 — y^2 \) раскладывается на \( (x — y)(x + y) \), поэтому итоговое разложение: \( x^6 — y^6 = (x — y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \).