ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) \(a — b\);
2) \(a^{1,5} — b^{1,5}\);
3) \(m^{0,6} — 871,8\);
4) \(x^7 — 6\).

Разложить на множители, используя формулу разности кубов:

1) \(a — b = a^3 — b^3 = \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) = \left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\right) \)
\(\left(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right);\)

2) \(a^{1.5} — b^{1.5} = a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right) \left(a + \sqrt{ab} + b\right) = (\sqrt{a} — \sqrt{b})\)
\((a + \sqrt{ab} + b);\)

3) \(m^{0.6} — 8n^{1.8} = m^{\frac{3}{5}} — 2^3 \cdot n^{\frac{9}{5}} = \left(m^{\frac{1}{5}} — 2 n^{\frac{3}{5}}\right) \left(m^{\frac{2}{5}} + 2 m^{\frac{1}{5}} n^{\frac{3}{5}} + 4 n^{\frac{6}{5}}\right) =\)
\(= \left(\sqrt[5]{m} — 2 \sqrt[5]{n^3}\right) \left(\sqrt[5]{m^2} + 2 \sqrt[5]{mn^3} + 4 \sqrt[5]{n^6}\right);\)

4) \(x^7 — 6 = x^{\frac{21}{3}} — 6^3 = \left(x^7 — 6^3\right) \left(x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + 6^{\frac{2}{3}}\right) = \left(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{6}\right)\)
\( \left(\sqrt[3]{x^4} + \sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{36}\right);\)

Формула разности кубов является важным инструментом в алгебре для разложения разности двух степеней третьей степени на произведение двух множителей. Она записывается как \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Это позволяет упростить выражения, которые на первый взгляд выглядят сложными, и найти их корни или упростить вычисления. В приведённых задачах мы видим применение этой формулы к выражениям, где основания и показатели степени могут быть дробными или выражены через корни.

В первом примере мы рассматриваем выражение \(a — b\), которое переписывается как \(a^3 — b^3\) с помощью возведения в дробные степени: \(a = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\) и \(b = \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3\). Тогда по формуле разности кубов оно раскладывается на множители: \(\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)\) и \(\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\). Здесь важно понимать, что \(a^{\frac{1}{3}}\) — это кубический корень из \(a\), то есть \(\sqrt[3]{a}\). Аналогично \(b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b}\). Вторая скобка содержит суммы квадратов и произведений этих корней, что соответствует формуле \(a^2 + ab + b^2\), но уже в терминах кубических корней.

Во втором примере показано, как использовать формулу при степенях \(1.5\), что эквивалентно \( \frac{3}{2} \). Выражения \(a^{1.5}\) и \(b^{1.5}\) можно переписать как \(a^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3\) и \(b^{\frac{3}{2}} = \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^3\). Здесь \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\), квадратный корень из \(a\). Тогда по формуле разности кубов разложение будет выглядеть как \(\left(\sqrt{a} — \sqrt{b}\right)\left(a + \sqrt{ab} + b\right)\). Вторая скобка — это сумма квадратов и произведения, где \(a\) и \(b\) уже в своих обычных степенях, а \(\sqrt{ab}\) — корень из произведения \(a\) и \(b\).

В третьем примере используется более сложное выражение с дробными степенями: \(m^{0.6} — 8 n^{1.8}\). Здесь \(0.6 = \frac{3}{5}\), а \(1.8 = \frac{9}{5}\), что позволяет записать выражение как \(m^{\frac{3}{5}} — 2^3 n^{\frac{9}{5}}\). Применяя формулу разности кубов, выделяем кубы: \(m^{\frac{3}{5}} = \left(m^{\frac{1}{5}}\right)^3\) и \(2^3 n^{\frac{9}{5}} = \left(2 n^{\frac{3}{5}}\right)^3\). Разложение принимает вид \(\left(m^{\frac{1}{5}} — 2 n^{\frac{3}{5}}\right)\left(m^{\frac{2}{5}} + 2 m^{\frac{1}{5}} n^{\frac{3}{5}} + 4 n^{\frac{6}{5}}\right)\). Здесь \(m^{\frac{1}{5}}\) — пятый корень из \(m\), а \(n^{\frac{3}{5}}\) — пятый корень из \(n^3\), то есть \(\sqrt[5]{n^3}\). Вторая скобка — это сумма квадратов и произведений этих корней с соответствующими коэффициентами.

Четвёртый пример рассматривает выражение \(x^7 — 6\), которое можно представить как разность кубов \(x^{\frac{21}{3}} — 6^3\). Здесь \(x^7 = x^{\frac{21}{3}}\), чтобы привести степень к кубу. Применяя формулу разности кубов, получаем разложение \(\left(x^{\frac{7}{3}} — 6\right)\left(x^{\frac{14}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} + 36\right)\). При этом \(x^{\frac{7}{3}} = \sqrt[3]{x^7}\), что можно переписать как \(\sqrt[3]{x^2}\) в более удобном виде, если учитывать деление степени. В итоге разложение записывается как \(\left(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{6}\right) \left(\sqrt[3]{x^4} + \sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{36}\right)\). Это показывает, что даже сложные степени можно свести к формуле разности кубов, используя свойства степеней и корней.