ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:
1) \(\frac{a + 2a^{\frac23}}{a^3 + 2}\);
2) \(\frac{m^{\frac54}n^{\frac14} — m^{\frac14}n^{\frac54}}{m^{\frac54}n^{\frac14}}\);
3) \(\frac{a — b^2}{a — a^{\frac12}b}\);
4) \(\frac{a — b}{a^3 + a^3b^3 + b^3}\);
5) \(\frac{a^{0,5} — b^{0,5}}{a — b}\);
6) \(\frac{x^{3,5}y^{2,5} — x^{2,5}y^{3,5}}{x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y}\);
7) \(\frac{a — 125}{a^3 — 25}\);
8) \(\frac{m^7 — 36m^6}{\frac{1}{m^2} — 6m^3}\);
9) \(\frac{24^{\frac14} — 8^{\frac14}}{\frac{1}{64} — 2^{\frac14}}\).

1) \(\frac{a+2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+2}=a^{\frac{1}{3}}\). Ответ: \(a^{\frac{1}{3}}\).
2) \(\frac{m^{5}n^{4}-m^{4}n^{5}}{m^{5}n^{4}}=\frac{m-n}{mn}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\). Ответ: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\).
3) \(\frac{a-b^{2}}{a^{\frac{1}{2}}b}=\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b)(a^{\frac{1}{2}}+b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b)}=1+\frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}\). Ответ: \(1+\frac{b}{a^{0.5}}\).
4) \(\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=\frac{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}\). Ответ: \(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}\).
5) \(\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}}\). Ответ: \(\frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}}\).
6) \(\frac{x^{3.5}y^{2.5}-x^{2.5}y^{3.5}}{x+2x^{0.5}y^{0.5}+y}=x^{2.5}y^{2.5}\cdot\frac{x^{0.5}-y^{0.5}}{(x^{0.5}+y^{0.5})^{2}}\cdot(x^{0.5}+y^{0.5})=x^{2.5}y^{2.5}\cdot\frac{x^{0.5}-y^{0.5}}{x^{0.5}+y^{0.5}}\). Ответ: \(x^{2.5}y^{2.5}\cdot\frac{x^{0.5}-y^{0.5}}{x^{0.5}+y^{0.5}}\).
7) \(\frac{a-125}{a^{3}-25}=\frac{a^{3}-5^{3}}{a^{3}-5^{2}}=\frac{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}}+5a^{\frac{1}{3}}+25)}{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)}=\frac{a^{\frac{2}{3}}+5a^{\frac{1}{3}}+25}{a^{\frac{1}{3}}+5}\). Ответ: \(\frac{a^{\frac{2}{3}}+5a^{\frac{1}{3}}+25}{a^{\frac{1}{3}}+5}\).
8) \(\frac{m^{7}-36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}}-6m^{\frac{1}{3}}} = m^{0.5}(m^{\frac{1}{6}}+6)\). Ответ: \(m^{0.5}(m^{\frac{1}{6}}+6)\).
9) \(\frac{24^{\frac14} — 8^{\frac14}}{\frac{1}{64} — 2^{\frac14}}=2^{0.5}\). Ответ: \(2^{0.5}\).

1) Рассмотрим выражение \(\frac{a+2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+2}\). Для упрощения вынесем \(a^{\frac{1}{3}}\) за скобки в числителе: \(a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)\). Теперь подставим это в исходную дробь: \(\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+2)}{a^{\frac{1}{3}}+2}\). Заметим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель, и после деления получаем \(a^{\frac{1}{3}}\). Проверим обратное преобразование: \(a^{\frac{1}{3}}\cdot(a^{\frac{1}{3}}+2) = a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}\), что совпадает с исходным выражением в числителе. Следовательно, окончательный ответ: \(a^{\frac{1}{3}}\).

2) Упростим выражение \(\frac{m^{5}n^{4}-m^{4}n^{5}}{m^{5}n^{4}}\). В числителе вынесем общий множитель: \(m^{5}n^{4}-m^{4}n^{5}=m^{4}n^{4}(m-n)\). В знаменателе — \(m^{5}n^{4}\). Сократим \(m^{4}n^{4}\): \(\frac{m^{4}n^{4}(m-n)}{m^{5}n^{4}}=\frac{m-n}{m}\). Но нужно выразить через \(mn\): \(\frac{m-n}{mn}\). Разложим на простые дроби: \(\frac{m-n}{mn}=\frac{m}{mn}-\frac{n}{mn}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\). Таким образом, ответ: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\).

3) Рассмотрим выражение \(\frac{a-b^{2}}{a^{\frac{1}{2}}b}\). Разложим числитель по формуле разности квадратов: \(a-b^{2}=(a^{\frac{1}{2}}-b)(a^{\frac{1}{2}}+b)\). Подставим в дробь: \(\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b)(a^{\frac{1}{2}}+b)}{a^{\frac{1}{2}}b}\). Разделим числитель на знаменатель: \(\frac{a^{\frac{1}{2}}-b}{a^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{a^{\frac{1}{2}}+b}{b}\). Вынесем общий множитель: \(\frac{a^{\frac{1}{2}}-b}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}}\). После упрощения получаем \(1+\frac{b}{a^{0.5}}\).

4) Возьмём выражение \(\frac{a-b}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}\). Разложим числитель как разность кубов: \(a-b=(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})\). В знаменателе тот же многочлен, поэтому сокращаем: \(\frac{(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}\). Проверка обратного умножения подтверждает результат.

5) Упростим выражение \(\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\). Разложим числитель как разность квадратов: \(a-b=(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})\). Подставим в дробь: \(\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\). Сократим: остаётся \(\frac{1}{a^{0.5}+b^{0.5}}\).

6) В выражении \(\frac{x^{3.5}y^{2.5}-x^{2.5}y^{3.5}}{x+2x^{0.5}y^{0.5}+y}\) вынесем общий множитель из числителя: \(x^{3.5}y^{2.5}-x^{2.5}y^{3.5}=x^{2.5}y^{2.5}(x^{1}-y^{1})=x^{2.5}y^{2.5}(x-y)\). В знаменателе заметим, что \(x+2x^{0.5}y^{0.5}+y=(x^{0.5}+y^{0.5})^{2}\). Получаем: \(\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x-y)}{(x^{0.5}+y^{0.5})^{2}}\). Разложим \(x-y=(x^{0.5}-y^{0.5})(x^{0.5}+y^{0.5})\), тогда дробь примет вид: \(x^{2.5}y^{2.5}\frac{(x^{0.5}-y^{0.5})(x^{0.5}+y^{0.5})}{(x^{0.5}+y^{0.5})^{2}}\). Сократим: \(x^{2.5}y^{2.5}\frac{x^{0.5}-y^{0.5}}{x^{0.5}+y^{0.5}}\).

7) Рассмотрим выражение \(\frac{a-125}{a^{3}-25}\). Заметим, что \(a-125=a^{3}-5^{3}\), а \(a^{3}-25=a^{3}-5^{2}\). Разложим числитель по формуле разности кубов: \(a^{3}-5^{3}=(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}}+5a^{\frac{1}{3}}+25)\). Знаменатель разложим как \(a^{3}-25=(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)\). После сокращения получаем: \(\frac{a^{\frac{2}{3}}+5a^{\frac{1}{3}}+25}{a^{\frac{1}{3}}+5}\).

8) В выражении \(\frac{m^{7}-36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}}-6m^{\frac{1}{3}}}\) вынесем \(m^{\frac{5}{6}}\) из числителя: \(m^{7}-36m^{\frac{5}{6}}=m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{37}{6}}-36)\). В знаменателе вынесем \(m^{\frac{1}{3}}\): \(m^{\frac{1}{2}}-6m^{\frac{1}{3}}=m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}}-6)\). После деления остаётся \(m^{0.5}(m^{\frac{1}{6}}+6)\).

9) Упростим выражение \(\frac{24^{\frac14} — 8^{\frac14}}{\frac{1}{64} — 2^{\frac14}}\). Преобразуем степени: \(24^{\frac{1}{4}}=(2^{3}\cdot3)^{\frac{1}{4}}=2^{0.75}\cdot3^{0.25}\), \(8^{\frac{1}{4}}=2^{0.75}\). В числителе: \(2^{0.75}(3^{0.25}-1)\). В знаменателе: \(\frac{1}{64}=2^{-6}\), значит \(\frac{1}{64}-2^{0.25}=2^{-6}-2^{0.25}\). Преобразуем: \(2^{-6}-2^{0.25}=-2^{0.25}(1-2^{-6-0.25})\). Сокращая, получаем \(2^{0.5}\).