ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \(y = (x)\);
2) \(y = (x — 2)^3\);
3) \(y = x^2 \cdot x^{\frac{5}{x}}\).

Решаем уравнение \( y = x \). Для построения графика возьмём точки: при \( x = -2 \), \( y = -2 \); при \( x = 0 \), \( y = 0 \); при \( x = 2 \), \( y = 2 \). Это прямая линия через начало координат с наклоном 1.

Для функции \( y = (x — 2)^3 \) вычислим значения: при \( x = 1 \), \( y = (1 — 2)^3 = -1 \); при \( x = 2 \), \( y = 0 \); при \( x = 3 \), \( y = 1 \). Это кубическая функция, смещённая вправо на 2, с точкой перегиба в \( (2, 0) \).

Для \( y = x^2 \cdot x^{\frac{5}{x}} \) упростим: \( y = x^{2 + \frac{5}{x}} \). Для \( x > 0 \), при \( x = 1 \), \( y = 1^{2 + 5} = 1^7 = 1 \); при \( x = 5 \), показатель \( 2 + \frac{5}{5} = 3 \), \( y = 5^3 = 125 \). График растёт быстрее параболы около нуля и замедляется при больших \( x \)

1. Рассмотрим функцию \( y = x \). Это простейшая линейная функция, которая описывает прямую линию, проходящую через начало координат с углом наклона, равным 1. Для построения графика возьмём несколько точек: если \( x = -3 \), то \( y = -3 \); если \( x = -2 \), то \( y = -2 \); если \( x = -1 \), то \( y = -1 \); если \( x = 0 \), то \( y = 0 \); если \( x = 1 \), то \( y = 1 \); если \( x = 2 \), то \( y = 2 \); если \( x = 3 \), то \( y = 3 \). Таким образом, график представляет собой прямую линию, которая увеличивается слева направо и проходит через все точки вида \( (x, x) \).

2. Перейдём к функции \( y = (x — 2)^3 \). Это кубическая функция, которая является трансформацией базовой функции \( y = x^3 \), смещённой вправо на 2 единицы по оси \( x \). Смещение происходит из-за выражения \( x — 2 \). Для построения графика вычислим несколько значений: при \( x = -1 \), \( y = (-1 — 2)^3 = (-3)^3 = -27 \); при \( x = 0 \), \( y = (0 — 2)^3 = (-2)^3 = -8 \); при \( x = 1 \), \( y = (1 — 2)^3 = (-1)^3 = -1 \); при \( x = 2 \), \( y = (2 — 2)^3 = 0^3 = 0 \); при \( x = 3 \), \( y = (3 — 2)^3 = 1^3 = 1 \); при \( x = 4 \), \( y = (4 — 2)^3 = 2^3 = 8 \); при \( x = 5 \), \( y = (5 — 2)^3 = 3^3 = 27 \). График имеет S-образную форму, типичную для кубических функций, с точкой перегиба в \( (2, 0) \), где функция пересекает ось \( x \). Функция убывает слева от точки \( x = 2 \) и возрастает справа от неё.

3. Теперь разберём функцию \( y = x^2 \cdot x^{\frac{5}{x}} \). Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: \( x^2 \cdot x^{\frac{5}{x}} = x^{2 + \frac{5}{x}} \). Это сложная функция, поведение которой зависит от значения \( x \). Рассмотрим только положительные значения \( x \), так как при отрицательных \( x \) показатель степени может привести к комплексным числам. Вычислим несколько точек для \( x > 0 \): при \( x = 1 \), показатель равен \( 2 + \frac{5}{1} = 7 \), значит \( y = 1^7 = 1 \); при \( x = 5 \), показатель равен \( 2 + \frac{5}{5} = 3 \), значит \( y = 5^3 = 125 \); при \( x = 0.5 \), показатель равен \( 2 + \frac{5}{0.5} = 2 + 10 = 12 \), значит \( y = (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \approx 0.000244 \). Также заметим, что при \( x \to 0^+ \), \( \frac{5}{x} \to +\infty \), поэтому показатель \( 2 + \frac{5}{x} \to +\infty \), и \( y \to 0^+ \), так как основание \( x \) меньше 1. При больших значениях \( x \), например, \( x \to +\infty \), \( \frac{5}{x} \to 0 \), и показатель приближается к 2, поэтому функция ведёт себя как \( y \approx x^2 \). Таким образом, график для \( x > 0 \) начинается близко к нулю при малых \( x \), быстро растёт при увеличении \( x \), но с ростом \( x \) скорость роста замедляется, приближаясь к параболическому поведению.