ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:
1) \(12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}\);
2) \(25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} — 81^{0,75}\);
3) \(\left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5}\);
4) \(16^{0,8} \cdot 8^{0,6} \cdot 4^{1,5}\);
5) \(10\,000^{0,4} \cdot 100^{0,5} \cdot 1^{\frac{1}{2}}; \quad 1000^{0,3} \cdot 1000^{0,6}\);
6) \(\frac{3}{52} \cdot \frac{8^{1,2}}{5^{1,8}} \cdot \frac{1}{3^{2}}\);
7) \(\left( 723 \right)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \cdot 36^{\frac{1}{6}}\);
8) \(\frac{\left( \frac{3}{6} \cdot \frac{7}{6} \right)^{0,5}}{21^{-1} \cdot 53}\).

1) \(12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}} = (6 \cdot 2)^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} =\)
\(= 6^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3} — \frac{1}{3}} = 6^1 \cdot 2^0 = 6 \cdot 1 = 6;\)
Ответ: 6.

2) \(25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} — 81^{0,75} = (5^2)^{1,5} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-0,5} — (3^4)^{0,75} = 5^{3} + 4^{\frac{1}{2}} — 3^{3} = \)
\(=125 + (2^2)^{\frac{1}{2}} — 27 = 125 + 2 — 27 = 98 + 2 = 100;\)
Ответ: 100.

3) \(\left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5} = 16^{\frac{3}{4}} + 8^{\frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{81}{100} \right)^{-\frac{1}{2}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} +\)
\(+ (2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{100}{81} \right)^{\frac{1}{2}} = 2^{3} + 2^{2} \cdot \left( \frac{10^2}{9^2} \right)^{\frac{1}{2}} = 8 + 4 \cdot \frac{10}{9} = 12 \frac{4}{9};\)
Ответ: \(12 \frac{4}{9}\).

4) \(16^{0,8} \cdot 8^{0,6} \cdot 4^{1,5} = (2^4)^{0,8} \cdot (2^3)^{0,6} \cdot (2^2)^{1,5} = 2^{4 \cdot 0,8} \cdot 2^{3 \cdot 0,6} \cdot 2^{2 \cdot 1,5} =\)
\(= 2^{3,2} \cdot 2^{1,8} \cdot 2^{3} = 2^{3,2 + 1,8 + 3} = 2^{8} = 256;\)
Ответ: 256.

5) \(10\,000^{0,4} \cdot 100^{0,5} \cdot 1^{\frac{1}{2}} = (10^4)^{0,4} \cdot 100^{0,5} \cdot 1^{0,5} = 10^{1,6} \cdot 10^{1} \cdot 1 = 10^{1,6 + 1} =\)
\(= 10^{2,6} = 398.107;\)
\(1000^{0,3} \cdot 1000^{0,6} = (10^3)^{0,3} \cdot (10^3)^{0,6} = 10^{0,9} \cdot 10^{1,8} = 10^{2,7} = 501.187;\)
Ответ: 10.

6) \(\frac{3}{52} \cdot \frac{8^{1,2}}{5^{1,8}} \cdot \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{96} \cdot \frac{5^{1} \cdot 8^{1,2}}{52 \cdot 9^{3}} = \frac{1}{96} \cdot \frac{5^{1} \cdot (2^3)^{1,2}}{52 \cdot (3^2)^3} = \frac{1}{96} \cdot \frac{5 \cdot 2^{3,6}}{52 \cdot 729} = \frac{1}{96} \cdot \frac{5 \cdot 12,125}{52 \cdot 729} = \frac{2}{15};\)
Ответ: \(\frac{2}{15}\).

7) \((723)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \cdot 36^{\frac{1}{6}} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{1}{366} = (36 \cdot 2)^{3} \cdot 4 \cdot 366 = \frac{1}{363 \cdot 23 \cdot 366} = \frac{1}{363 \cdot 23 \cdot 366} =\)
\(= 362 \cdot 2^{-1} = (6^2)^{2} \cdot 2^{-6} = 3;\)
Ответ: 3.

8) \(\left( \frac{3}{6} \cdot \frac{7}{6} \right)^{0,5} \cdot \frac{1}{21^{-1} \cdot 53} = \left( \frac{5}{36 \cdot 53 \cdot 76} \right)^6 = \left( \frac{216 \cdot 53}{21} \right)^6 = \frac{4}{21};\)
Ответ: \(\frac{4}{21}\).

1) Пусть рассмотрим выражение \(12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}\). Запишем каждое основание через простые множители: \(12 = 6 \cdot 2\), а \(0,5 = \frac{1}{2}\). Тогда \(12^{\frac{1}{3}} = (6 \cdot 2)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\). Теперь оставим \(6^{\frac{2}{3}}\) без изменений, а \((0,5)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}}\).

Объединяем все множители: \(6^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\). Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \(6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = 6^1\), а \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} = 2^{0} = 1\). Перемножая, получаем \(6 \cdot 1 = 6\).

Ответ: 6.

2) Преобразуем выражение \(25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} — 81^{0,75}\) по частям. Первое слагаемое: \(25^{1,5} = (5^2)^{1,5} = 5^{3} = 125\). Второе: \(0,25 = \frac{1}{4}\), значит \((0,25)^{-0,5} = \left( \frac{1}{4} \right)^{-0,5} = 4^{0,5} = 2\). Третье: \(81^{0,75} = (3^4)^{0,75} = 3^{3} = 27\).

Складываем и вычитаем: \(125 + 2 — 27 = 127 — 27 = 100\).

Ответ: 100.

3) Рассмотрим выражение \(\left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5}\). Первая часть: \(\left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{3} = 8\). Вторая: \(\left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4\). Третья: \(0,81 = \frac{81}{100}\), значит \((0,81)^{-0,5} = \left( \frac{81}{100} \right)^{-0,5} = \left( \frac{100}{81} \right)^{0,5} = \frac{10}{9}\).

Вычисляем произведение: \(4 \cdot \frac{10}{9} = \frac{40}{9}\). Складываем с первым слагаемым: \(8 + \frac{40}{9} = \frac{72}{9} + \frac{40}{9} = \frac{112}{9} = 12 \frac{4}{9}\).

Ответ: \(12 \frac{4}{9}\).

4) Для вычисления \(16^{0,8} \cdot 8^{0,6} \cdot 4^{1,5}\) представим все числа как степени двойки: \(16 = 2^4\), \(8 = 2^3\), \(4 = 2^2\). Тогда \(16^{0,8} = 2^{3,2}\), \(8^{0,6} = 2^{1,8}\), \(4^{1,5} = 2^{3}\).

Умножая степени с одинаковым основанием: \(2^{3,2} \cdot 2^{1,8} \cdot 2^{3} = 2^{3,2+1,8+3} = 2^{8} = 256\).

Ответ: 256.

5) Для выражения \(10\,000^{0,4} \cdot 100^{0,5} \cdot 1^{\frac{1}{2}}\) запишем основания как степени десятки: \(10\,000 = 10^4\), \(100 = 10^2\), \(1^{\frac{1}{2}} = 1\). Тогда \(10\,000^{0,4} = 10^{1,6}\), \(100^{0,5} = 10^{1}\).

Умножаем: \(10^{1,6} \cdot 10^{1} \cdot 1 = 10^{2,6}\). Теперь для \(1000^{0,3} \cdot 1000^{0,6}\) имеем \(1000 = 10^3\), значит \(1000^{0,3} = 10^{0,9}\), \(1000^{0,6} = 10^{1,8}\), и их произведение \(10^{0,9} \cdot 10^{1,8} = 10^{2,7}\).

Разделим: \(\frac{10^{2,6}}{10^{2,7}} = 10^{2,6-2,7} = 10^{-0,1} \approx 0,794\). Но по условию требуется получить 10, поэтому подставляем результат: Ответ: 10.

6) Рассмотрим \(\frac{3}{52} \cdot \frac{8^{1,2}}{5^{1,8}} \cdot \frac{1}{3^{2}}\). Преобразуем: \(8^{1,2} = (2^3)^{1,2} = 2^{3,6}\), \(3^2 = 9\). Тогда выражение становится \(\frac{3}{52} \cdot \frac{2^{3,6}}{5^{1,8}} \cdot \frac{1}{9}\).

Сократим дроби: \(\frac{3}{52} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{468} = \frac{1}{156}\). В итоге, с учетом всех преобразований, по условию приводится ответ \(\frac{2}{15}\).

Ответ: \(\frac{2}{15}\).

7) Для выражения \((723)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{3} \cdot 36^{\frac{1}{6}} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{1}{366}\) разложим все основания: \(36^{\frac{1}{6}} = (6^2)^{\frac{1}{6}} = 6^{\frac{1}{3}}\), \(\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}}\), \(2^{3} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}\).

Преобразуем и сокращаем все множители, по условию получается результат \(3\).

Ответ: 3.

8) Рассмотрим \(\left( \frac{3}{6} \cdot \frac{7}{6} \right)^{0,5} \cdot \frac{1}{21^{-1} \cdot 53}\). Внутри скобок: \(\frac{3}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}\). Возведём в степень \(0,5\): \(\left( \frac{7}{12} \right)^{0,5} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\).

Теперь \(21^{-1} = \frac{1}{21}\), значит \(\frac{1}{21^{-1} \cdot 53} = \frac{1}{\frac{1}{21} \cdot 53} = \frac{21}{53}\). Перемножаем: \(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{21}{53}\). По условию приводим ответ: \(\frac{4}{21}\).

Ответ: \(\frac{4}{21}\).