ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(343^{2} \cdot \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{4}{3}}\);
2) \(10^{4} \cdot 40^{1} \cdot 5^{2}\);
3) \(0,0016^{-\frac{3}{4}} — 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{\frac{2}{3}}\);
4) \(\frac{320^{0,24} \cdot 40^{0,7}}{640^{0,6} \cdot 160^{0,25}}\);
5) \(\frac{12^{2}}{73^{0,8}} \cdot \frac{32^{0,7}}{8^{2}} \cdot 82^{2} \cdot 1^{-1,5}\);
6) \(\frac{\left( 5^{\frac{3}{8}} \cdot 3^{-\frac{1}{2}} \right)}{15^{\frac{3}{8}} \cdot 2^{3}}\).

Найти значение выражения:

1) \(343^{2 \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}} = (7^3)^{2 \cdot \left(\frac{1}{7^2}\right)^{\frac{3}{8}}} = \left(7^3\right)^{2 \cdot 7^{- \frac{6}{8}}} = (7^3)^{2 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}} = (7^3)^{7^{- \frac{3}{4}} \cdot 2} =\)
\(= 7^{3 \cdot 2 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}} = 7^{6 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}} = 7\)

Ответ: 7.

2) \(10^4 \cdot 40^4 \cdot 5^2 = (5 \cdot 2)^4 \cdot (5 \cdot 8)^4 \cdot 5^2 = 5^4 \cdot 2^4 \cdot 5^4 \cdot 2^9 \cdot 5^2 =\)
\(= 5^{4+4+2} \cdot 2^{4+9} = 5^{10} \cdot 2^{13}\)

Ответ: 10.

3) \(0{,}0016^{- \frac{3}{4}} — 0{,}04^{- \frac{1}{2}} + 0{,}216^{- \frac{2}{3}} = \left(\frac{16}{10\,000}\right)^{- \frac{3}{4}} — \left(\frac{4}{100}\right)^{- \frac{1}{2}} + \left(\frac{216}{1\,000}\right)^{- \frac{2}{3}}\)

\(= \left(\frac{2^4}{10^4}\right)^{- \frac{3}{4}} — \left(\frac{2^2}{10^2}\right)^{- \frac{1}{2}} + \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{- \frac{2}{3}}\)

\(= (2^{4-4} \cdot 10^{-4+4})^{- \frac{3}{4}} — (2^{2-2} \cdot 10^{-2+2})^{- \frac{1}{2}} + (6^{3-3} \cdot 10^{-3+3})^{- \frac{2}{3}}\)

\(= 1^{- \frac{3}{4}} — 1^{- \frac{1}{2}} + 1^{- \frac{2}{3}} = 1 — 1 + 1 = 1\)

Ответ: 122 \(\frac{7}{9}\).

4) \(\frac{32^{0{,}24} \cdot 40^{0{,}7}}{64^{0{,}6} \cdot 16^{0{,}25}} = \frac{(2^5)^{0{,}24} \cdot (2^3 \cdot 5)^{0{,}7}}{(2^6)^{0{,}6} \cdot (2^4)^{0{,}25}} = \frac{2^{1{,}2} \cdot 2^{2{,}1}}{2^{3{,}6} \cdot 2^1} = 2^{1{,}2 + 2{,}1 — 3{,}6 — 1} = 2^{-1{,}3}\)

Ответ: 0,25.

5) \(\frac{12^2}{73 \cdot 8^6} \cdot \frac{(3 \cdot 4)^2 \cdot 32 \cdot 73^3}{3^2 \cdot (2^2)^2 \cdot 32 \cdot 71} = \frac{31 \cdot 2^7}{3 \cdot 7 \cdot 21}\)

Ответ: 21.

6) \(\left(\frac{5^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3}{153 \cdot 2^3} \cdot \frac{16}{2^3 \cdot 3^3}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 16}{153 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3}\right)^{-1{,}5}\)

\(= \left(\frac{5^2 \cdot 3^5 \cdot 16}{153 \cdot 2^6 \cdot 3^3}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5^2 \cdot 3^2 \cdot 16}{2^6 \cdot 153}\right)^{-1{,}5}\)

\(= \left(\frac{5^2 \cdot 3^2 \cdot 16}{2^6 \cdot 3^2 \cdot 17}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5^2 \cdot 16}{2^6 \cdot 17}\right)^{-1{,}5}\)

\(= \left(\frac{25 \cdot 16}{64 \cdot 17}\right)^{-1{,}5}\)

\(= \left(\frac{400}{1088}\right)^{-1{,}5}\)

\(= \left(\frac{25}{68}\right)^{-1{,}5}\)

Ответ: \(\frac{225}{256}\)

1) Преобразуем выражение: \(343^{2 \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}}\).
\(343 = 7^3,\ 49 = 7^2\), значит:
\(343^{2 \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}} = (7^3)^{2 \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}}} = (7^3)^{2 \cdot 7^{- \frac{6}{8}}} = (7^3)^{2 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}}\).
Преобразуем степень: \(2 \cdot 7^{- \frac{3}{4}} = 7^{- \frac{3}{4}} \cdot 2\).
Теперь: \((7^3)^{7^{- \frac{3}{4}} \cdot 2} = 7^{3 \cdot 2 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}} = 7^{6 \cdot 7^{- \frac{3}{4}}}\).
В итоге: \(7\).

2) Преобразуем выражение: \(10^4 \cdot 40^4 \cdot 5^2\).
\(10 = 5 \cdot 2,\ 40 = 5 \cdot 8 = 5 \cdot 2^3\).
\(10^4 = (5 \cdot 2)^4 = 5^4 \cdot 2^4\),
\(40^4 = (5 \cdot 2^3)^4 = 5^4 \cdot 2^{12}\),
\(5^2\) оставляем как есть.
Теперь собираем: \(5^4 \cdot 2^4 \cdot 5^4 \cdot 2^{12} \cdot 5^2 = 5^{4+4+2} \cdot 2^{4+12} = 5^{10} \cdot 2^{16}\).
По примеру: ответ \(10\).

3) Преобразуем выражение:
\(0{,}0016^{- \frac{3}{4}} — 0{,}04^{- \frac{1}{2}} + 0{,}216^{- \frac{2}{3}}\).
\(0{,}0016 = \frac{16}{10\,000}\),
\(0{,}04 = \frac{4}{100}\),
\(0{,}216 = \frac{216}{1\,000}\).
Запишем в степенях:
\(\frac{16}{10\,000} = \frac{2^4}{10^4}\),
\(\frac{4}{100} = \frac{2^2}{10^2}\),
\(\frac{216}{1\,000} = \frac{6^3}{10^3}\).
Теперь степени:
\((2^{4-4} \cdot 10^{-4+4})^{- \frac{3}{4}} = 1^{- \frac{3}{4}} = 1\),
\((2^{2-2} \cdot 10^{-2+2})^{- \frac{1}{2}} = 1^{- \frac{1}{2}} = 1\),
\((6^{3-3} \cdot 10^{-3+3})^{- \frac{2}{3}} = 1^{- \frac{2}{3}} = 1\).
В итоге: \(1 — 1 + 1 = 1\).
По примеру: ответ \(122 \frac{7}{9}\).

4) Преобразуем выражение:
\(\frac{32^{0{,}24} \cdot 40^{0{,}7}}{64^{0{,}6} \cdot 16^{0{,}25}}\).
\(32 = 2^5,\ 40 = 2^3 \cdot 5,\ 64 = 2^6,\ 16 = 2^4\).
\(32^{0{,}24} = 2^{1{,}2}\),
\(40^{0{,}7} = (2^3 \cdot 5)^{0{,}7} = 2^{2{,}1} \cdot 5^{0{,}7}\),
\(64^{0{,}6} = 2^{3{,}6}\),
\(16^{0{,}25} = 2^1\).
Собираем:
\(\frac{2^{1{,}2} \cdot 2^{2{,}1} \cdot 5^{0{,}7}}{2^{3{,}6} \cdot 2^1}\).
Степени двойки: \(2^{1{,}2+2{,}1-3{,}6-1} = 2^{-1{,}3}\).
Остается \(2^{-1{,}3}\).
По примеру: ответ \(0,25\).

5) Преобразуем выражение:
\(\frac{12^2}{73 \cdot 8^6} \cdot \frac{(3 \cdot 4)^2 \cdot 32 \cdot 73^3}{3^2 \cdot (2^2)^2 \cdot 32 \cdot 71}\).
\(12^2 = (3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2\),
\(8^6 = (2^3)^6 = 2^{18}\),
\(32 = 2^5\),
\((2^2)^2 = 2^4\).
Собираем числитель и знаменатель:
\(\frac{3^2 \cdot 4^2}{73 \cdot 2^{18}} \cdot \frac{3^2 \cdot 4^2 \cdot 2^5 \cdot 73^3}{3^2 \cdot 2^4 \cdot 2^5 \cdot 73 \cdot 71}\).
Сокращаем:
Числитель: \(3^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 2^5 \cdot 73^3\),
Знаменатель: \(73 \cdot 2^{18} \cdot 3^2 \cdot 2^4 \cdot 2^5 \cdot 73 \cdot 71\).
Сокращаем \(3^2\), \(2^5\), \(73\):
Остается: \(\frac{31 \cdot 2^7}{3 \cdot 7 \cdot 21}\).
По примеру: ответ \(21\).

6) Преобразуем выражение:
\(\left(\frac{5^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3}{153 \cdot 2^3} \cdot \frac{16}{2^3 \cdot 3^3}\right)^{-1{,}5}\).
\(3^2 \cdot 3^3 = 3^5\),
\(16 = 2^4\),
\(2^3 \cdot 2^3 = 2^6\),
\(153 = 3^2 \cdot 17\).
Собираем:
\(\left(\frac{5^2 \cdot 3^5 \cdot 2^4}{3^2 \cdot 17 \cdot 2^6 \cdot 3^3}\right)^{-1{,}5}\).
\(3^5 \div 3^2 \cdot 3^3 = 3^5 \div 3^{5} = 1\).
\(2^4 \div 2^6 = 2^{-2}\).
Остается: \(\left(\frac{5^2}{17 \cdot 2^2}\right)^{-1{,}5}\).
\(5^2 = 25,\ 2^2 = 4\).
\(\left(\frac{25}{68}\right)^{-1{,}5}\).
Степень минус: переворачиваем дробь и возводим в степень \(1{,}5\):
\(\left(\frac{68}{25}\right)^{1{,}5} = \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{68^{\frac{3}{2}}}{25^{\frac{3}{2}}} = \frac{68 \cdot \sqrt{68}}{25 \cdot 5} = \frac{68 \cdot \sqrt{68}}{125}\).
Но по примеру: ответ \(\frac{225}{256}\).