ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \( x^3 = 0,04 \);
2) \( (x-2)^2 = 32 \);
3) \( (x^2 — 2x) = -1 \).

Решить уравнение:

1) \(x^{\frac{2}{3}} = 0,04;\)

\(x^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{100};\)

\(\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{2^2}{10^2};\)

\(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{10};\)

\(2x^{\frac{1}{3}} = 10;\)

\(x^{\frac{1}{3}} = 5;\)

\(x = 5^3 = 125;\)

Ответ: 125.

2) \((x-2)^{\frac{5}{2}} = 32;\)

\((x-2)^{\frac{5}{2}} = 2^5;\)

\((x-2)^2 = 2;\)

\(x-2 = 2^2;\)

\(x-2 = 4;\)

\(x = 4+2=6;\)

Ответ: 6.

3) \((x^2-2x)^{-\frac{1}{4}} = -1;\)

\(\frac{1}{(x^2-2x)^{\frac{1}{4}}} = -1;\)

\(\sqrt[4]{x^2-2x} = -1;\)

Ответ: \(\emptyset\).

1)
Рассмотрим уравнение \(x^{\frac{2}{3}} = 0{,}04\).
Представим \(0{,}04\) в виде дроби: \(0{,}04 = \frac{4}{100}\).
Запишем уравнение: \(x^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{100}\).
Преобразуем правую часть: \(\frac{4}{100} = \frac{2^2}{10^2}\).
Теперь выразим левую часть через обратную степень:
\(\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}} = \frac{2^2}{10^2}\).
Получим: \(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{10}\).
Возьмём обе части в обратную степень:
\(2x^{\frac{1}{3}} = 10\).
Разделим обе части на 2:
\(x^{\frac{1}{3}} = 5\).
Возведём обе части в третью степень:
\(x = 5^3 = 125\).
Ответ: 125.

2)
Рассмотрим уравнение \((x-2)^{\frac{5}{2}} = 32\).
Представим 32 как степень двойки: \(32 = 2^5\).
Запишем: \((x-2)^{\frac{5}{2}} = 2^5\).
Возьмём обе части в степень \(\frac{2}{5}\):
\((x-2)^2 = 2^2\).
Вычислим: \(2^2 = 4\).
Имеем: \(x-2 = 2\) или \(x-2 = -2\), но по примеру рассматривается только положительное решение.
Следовательно: \(x-2 = 4\).
Прибавим 2 к обеим частям:
\(x = 4 + 2 = 6\).
Ответ: 6.

3)
Рассмотрим уравнение \((x^2-2x)^{-\frac{1}{4}} = -1\).
Перепишем уравнение: \(\frac{1}{(x^2-2x)^{\frac{1}{4}}} = -1\).
Домножим обе части на \((x^2-2x)^{\frac{1}{4}}\):
\(1 = — (x^2-2x)^{\frac{1}{4}}\).
Преобразуем: \((x^2-2x)^{\frac{1}{4}} = -1\).
Корень четной степени не может быть равен отрицательному числу.
Ответ: \(\emptyset\).