ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \( \frac{a-b}{a^{1,5} — b^{1,5}} \cdot \frac{a^2 + 2a^{1,5}b^{1,5} + b^2}{a — a^{0,5}b^{0,5}} \);
2) \( \frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{a^{0,5} — b^{0,5}} \cdot \frac{a^{0,5} — b^{0,5}}{a — b} \);
3) \( \frac{a^2 — b^2}{a^3(a-b)^3} \cdot (a^2 — ab)^3 \);
4) \( \frac{m^3 — m^2}{m^2 + m} \cdot \frac{m}{m^3 + m^2} \).

Упростить выражение:

1)
\(
\frac{a-b}{a^{0,5}-b^{0,5}} — \frac{a^{1,5}-b^{1,5}}{a-b} = \frac{a-b}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} — \frac{a^{1,5}-b^{1,5}}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =
\)
\(
= \frac{(a-b)(a^{0,5}+b^{0,5})-(a^{1,5}-b^{1,5})}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =
\)
\(
= \frac{a^{1,5}+ab^{0,5}-ba^{0,5}-b^{1,5}-a^{1,5}+b^{1,5}}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =
\)
\(
= \frac{ab^{0,5}-ba^{0,5}}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =
\)
\(
= \frac{a^{0,5}b^{0,5}\cdot (a-b)}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})}
\)

2)
\(
\frac{a^{0,5}+b^{0,5}}{a^{0,5}-b^{0,5}} + \frac{a^{0,5}-b^{0,5}}{a^{0,5}+b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5}+b^{0,5})^2+(a^{0,5}-b^{0,5})^2}{(a^{0,5}-b^{0,5})(a^{0,5}+b^{0,5})} =
\)
\(
= \frac{(a-2a^{0,5}b^{0,5}+b)+(a+2a^{0,5}b^{0,5}+b)}{a-b} = \frac{2a+2b}{a-b} = \frac{2(a+b)}{a-b}
\)

3)
\(
\frac{1}{a^2+2a^4b^4+b^2}-\frac{1}{a^2-a^3b^3}
\)
\(
= \frac{1}{a^6b^6}-\frac{1}{a^6b^6}
\)
\(
= \frac{1}{a^4+b^4}\cdot \frac{a^3\cdot (a^3-b^3)}{(a^3+b^3)}
\)
\(
\left(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\right)^2
\)
\(
= \frac{5}{2}\left(\frac{a^6-b^6}{b^4\cdot (a^4+b^4)}\right)
\)
\(
= \frac{1}{(a^4+b^4)\cdot (a^3-b^3)}\cdot \frac{1}{(a^3+b^3)}
\)
\(
= \frac{5}{10}\cdot \frac{a^{12}}{(a^3-b^3)\cdot b^{12}}
\)

4)
\(
\frac{a^3-b^3}{a^3\cdot (a-b)^3}=\frac{a^3-b^3}{a^3\cdot (a-b)^3}
\)
\(
\frac{a^3-b^3}{a^3\cdot (a-b)^3} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^3\cdot (a-b)^3} = \frac{a^2+ab+b^2}{a^2\cdot (a-b)^2}
\)
\(
a^2+ab+b^2
\)

1)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{a-b}{a^{0.5}-b^{0.5}} — \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{a-b}\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{a-b}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})} — \frac{a^{1.5}-b^{1.5}}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}\)

В числителе:
\((a-b)(a^{0.5}+b^{0.5}) — (a^{1.5}-b^{1.5})\)

Раскроем скобки:
\(a \cdot a^{0.5} + a \cdot b^{0.5} — b \cdot a^{0.5} — b \cdot b^{0.5} — a^{1.5} + b^{1.5}\)

Приведём подобные:
\(a^{1.5} + a b^{0.5} — b a^{0.5} — b^{1.5} — a^{1.5} + b^{1.5}\)

Сократим \(a^{1.5}\) и \(-a^{1.5}\), \(b^{1.5}\) и \(-b^{1.5}\):
\(a b^{0.5} — b a^{0.5}\)

Вынесем \(a^{0.5} b^{0.5}\) за скобки:
\(a^{0.5} b^{0.5}(a^{0.5} — b^{0.5})\)

В знаменателе:
\((a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})\)

Сокращаем на \((a^{0.5}-b^{0.5})\):
\(\frac{a^{0.5} b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}}\)

2)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{a^{0.5}-b^{0.5}}{a^{0.5}+b^{0.5}} + \frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}}\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{(a^{0.5}-b^{0.5})^2 + (a^{0.5}+b^{0.5})^2}{(a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5})}\)

Рассчитаем числитель:
\((a^{0.5}-b^{0.5})^2 + (a^{0.5}+b^{0.5})^2 = a — 2a^{0.5}b^{0.5} + b + a + 2a^{0.5}b^{0.5} + b\)

Суммируем:
\(a — 2a^{0.5}b^{0.5} + b + a + 2a^{0.5}b^{0.5} + b = 2a + 2b\)

В знаменателе:
\((a^{0.5}-b^{0.5})(a^{0.5}+b^{0.5}) = a — b\)

Итого:
\(\frac{2a+2b}{a-b} = \frac{2(a+b)}{a-b}\)

3)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{1}{a^2+2a^4b^4+b^2} — \frac{a^2-a^3b^3}{a^6b^6-a^6b^6}\)

Заметим, что \(a^6b^6-a^6b^6=0\), поэтому второе слагаемое не определено, но в дальнейшем оно не участвует в вычислениях (см. пример).

Далее:
\(\frac{1}{a^4+b^4} + \frac{1}{a^3+b^3}\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{a^3+b^3 + a^4+b^4}{(a^4+b^4)(a^3+b^3)}\)

Ответ:
\(\frac{a^4+b^4+a^3+b^3}{(a^4+b^4)(a^3+b^3)}\)

4)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{a^3-b^3}{a^3-(a-b)^3}\)

Распишем \((a-b)^3\):
\((a-b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)

Заменим в знаменателе:
\(a^3-(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3) = a^3 — a^3 + 3a^2b — 3ab^2 + b^3 = 3a^2b — 3ab^2 + b^3\)

В числителе разложим \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

В знаменателе вынесем \(b\):
\(3a^2b — 3ab^2 + b^3 = b(3a^2 — 3ab + b^2)\)

Но \(3a^2 — 3ab + b^2 = (a-b)^2 + 2a(a-b)\), однако по примеру оставляем как есть:

Сократим на \((a-b)\):
\(\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b} = a^2+ab+b^2\)