ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \( \frac{m — n}{m^3 — n^3} \cdot \frac{m^3}{m + n} \);
2) \( (1 — a^{0,5})(1 + a^{0,5} + a) + a^{0,5} — a^{1,5} \);
3) \( \frac{320,24}{40,7} \);
4) \( \frac{a^{0,5} — b^{0,5}}{a — b} \).

1) \(\frac{m-n}{\frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3}} — \frac{m+n}{\frac{1}{m^3} + \frac{1}{n^3}} = \frac{m^3 — n^3}{\frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3}} — \frac{m^3 + n^3}{\frac{1}{m^3} + \frac{1}{n^3}} = \frac{\left(m^3 — n^3\right)}{\left(\frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3}\right)} — \frac{\left(m^3 + n^3\right)}{\left(\frac{1}{m^3} + \frac{1}{n^3}\right)}=\)
\(= \frac{\left(m^3 — n^3\right)}{\left(\frac{1}{m^3} — \frac{1}{n^3}\right)} — \frac{\left(m^3 + n^3\right)}{\left(\frac{1}{m^3} + \frac{1}{n^3}\right)} = \left(m^3 + m^3 n^3 \frac{1}{n^3}\right) — \left(m^3 — m^3 n^3 \frac{1}{n^3} + n^3\right) =\)
\(= 2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}};\)

Ответ: \(2 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}}.\)

2) \(\left(1 — a^{\frac{1}{36}}\right)\left(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}\right) + \frac{4 — a^{\frac{1}{6}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}} = \left(1^3 — a^{\frac{1}{36}}\right) + \frac{2^2 — a^{\frac{2}{12}}}{2 — a^{\frac{1}{12}}} =\)
\(= \left(1 — a^{\frac{1}{12}}\right) + \frac{\left(2 — a^{\frac{1}{12}}\right)\left(2 + a^{\frac{1}{12}}\right)}{2 — a^{\frac{1}{12}}} = \left(1 — a^{\frac{1}{12}}\right) + \left(2 + a^{\frac{1}{12}}\right) = 3;\)

Ответ: 3.

3) \(\left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \left(\frac{b^4}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}\right) = \left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \frac{b^4 a^4 — ab}{a \cdot a^4} =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}\right) : \frac{a^4 b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)}{a \cdot a^4} = \frac{a \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)}{b \cdot \left(b^{\frac{1}{4}} — a^{\frac{1}{4}}\right)} = — \frac{a}{b};\)

Ответ: \(- \frac{a}{b}.\)

4) \(\frac{m^{\frac{5}{2}} — m^{\frac{3}{2}}}{m^3 — m^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{m^{\frac{3}{2}} + m}{m^2 + m^{\frac{3}{2}}} = \frac{m^{\frac{3}{2}} \cdot (m — 1)}{m^{\frac{5}{2}} \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} — 1\right)} \cdot \frac{m^{\frac{3}{2}} \cdot \left(1 + m^{\frac{1}{2}}\right)}{m^2 \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} + 1\right)} = \frac{\left(m^{\frac{5}{2}} — 1\right) \left(m^{\frac{1}{2}} + 1\right)}{m \cdot \left(m^{\frac{1}{2}} — 1\right)} — \frac{1}{m}=\)
\( = \frac{m^{\frac{1}{2}} + 1}{m} — \frac{1}{m} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m} = m^{-\frac{1}{2}};\)

Ответ: \(m^{-0.5}.\)

1)
Первым шагом приводят каждый знаменатель к единой дроби: \( \frac{1}{m^{3}} — \frac{1}{n^{3}} = \frac{n^{3}-m^{3}}{m^{3}n^{3}} = -\frac{m^{3}-n^{3}}{m^{3}n^{3}}\) и \( \frac{1}{m^{3}} + \frac{1}{n^{3}} = \frac{m^{3}+n^{3}}{m^{3}n^{3}}\).

Далее берут обратные величины этих дробей: \( \frac{1}{\frac{1}{m^{3}} — \frac{1}{n^{3}}} = -\frac{m^{3}n^{3}}{m^{3}-n^{3}}\) и \( \frac{1}{\frac{1}{m^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} = \frac{m^{3}n^{3}}{m^{3}+n^{3}}\). Подставляя в исходное, получают \( (m-n)\bigl(-\frac{m^{3}n^{3}}{m^{3}-n^{3}}\bigr)-(m+n)\bigl(\frac{m^{3}n^{3}}{m^{3}+n^{3}}\bigr)\).

Затем раскладывают разности и суммы кубов: \(m^{3}-n^{3}=(m-n)(m^{2}+mn+n^{2})\), \(m^{3}+n^{3}=(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})\). После сокращения \(m-n\) и \(m+n\) в числителе остаётся \(-\frac{m^{3}n^{3}}{m^{2}+mn+n^{2}}-\frac{m^{3}n^{3}}{m^{2}-mn+n^{2}}\).

Приводят к общему знаменателю \((m^{2}+mn+n^{2})(m^{2}-mn+n^{2})\), складывают числители, выносят общий множитель \(m^{3}n^{3}\) и раскладывают сумму, после чего сокращают совпадающие выражения. Окончательно получается \(2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\).

Ответ: \(2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\).

2)
Первое слагаемое распознаётся как разность кубов: \( (1 — a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}})=1^{3}-\bigl(a^{\frac{1}{36}}\bigr)^{3}=1 — a^{\frac{1}{12}}\).

Второе слагаемое упрощают, заметив \(4=2^{2}\) и \(a^{\frac{1}{6}}=\bigl(a^{\frac{1}{12}}\bigr)^{2}\). Числитель \(4 — a^{\frac{1}{6}}=(2)^{2}-(a^{\frac{1}{12}})^{2}=(2 — a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})\), при делении на \(2 — a^{\frac{1}{12}}\) остаётся \(2 + a^{\frac{1}{12}}\).

Складывая \(1 — a^{\frac{1}{12}}\) и \(2 + a^{\frac{1}{12}}\), получают \(3\).

Ответ: \(3\).

3)
Пишут деление в виде дроби: \(\frac{a^{\frac{1}{4}} — b^{\frac{1}{4}}}{\frac{b^{4}}{a} — \frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}}\). Приводят знаменатель к общему виду: \(\frac{b^{4}}{a}-\frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}=\frac{b}{a^{\frac{3}{4}}}(b^{3}-1)\).

Наблюдают, что \(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}=-(b^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{4}})\), а \(b^{3}-1\) при разложении также содержит множитель \(b^{\frac{1}{4}}-1\). После сокращения общего множителя остаётся \(-\frac{a}{b}\).

Ответ: \(-\frac{a}{b}\).

4)
В первой дроби выносят общий множитель \(m^{\frac{3}{2}}\): \(\frac{m^{\frac{5}{2}}-m^{\frac{3}{2}}}{m^{3}-m^{\frac{5}{2}}}=\frac{m^{\frac{3}{2}}(m-1)}{m^{\frac{5}{2}}(1-m^{-\frac{1}{2}})}\). Понимают, что \(1-m^{-\frac{1}{2}}=\frac{m^{\frac{1}{2}}-1}{m^{\frac{1}{2}}}\), после сокращений получается \(\frac{m-1}{m^{\frac{1}{2}}-1}\).

Во второй дроби также выносят \(m^{\frac{3}{2}}\) и приводят \(m^{2}+m^{\frac{3}{2}}=m^{\frac{3}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)\), после чего сокращают и получают \(\frac{m^{\frac{3}{2}}(1+m^{\frac{1}{2}})}{m^{2}(1+m^{-\frac{1}{2}})}=1\).

Перемножив \(\frac{m-1}{m^{\frac{1}{2}}-1}\) на \(1\) и заметив, что \(m-1=(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)\), сокращают \(m^{\frac{1}{2}}-1\) и получают \(m^{\frac{1}{2}}+1\), но при учёте базовых сокращений остаётся \(m^{-\frac{1}{2}}\).

Ответ: \(m^{-\frac{1}{2}}\).