Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите тождество:
\( \frac{(a + 2a^{0,5} + 1)(a — 1)}{(a^{0,5} + 1)(a — 1)} \cdot \frac{(a — b)^2 + a^2 — b^2}{a^2 — b^2} = 2a^2 — 2b^2 \).
Доказать тождество:
1) \(\frac{a^{0,5} + 2}{a + 2a^{0,5} + 1} \cdot \frac{a^{0,5} — 2}{a — 1} \cdot \frac{a}{a^{0,5} + 1} = \)
\(\left( \frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} \cdot \frac{a^{0,5} — 2}{(a^{0,5} — 1)(a^{0,5} + 1)} \right) \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} = \)
\(\frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} \cdot \frac{a^{0,5} — 2}{(a^{0,5} — 1)(a^{0,5} + 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} = \)
\(\frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} — 2)}{(a^{0,5} + 1)^2 (a^{0,5} — 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} = \)
\(\frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} — 1) — (a^{0,5} — 2)(a^{0,5} + 1)}{(a^{0,5} + 1)(a^{0,5} — 1)a^{0,5}} = \)
\(\frac{(a — a^{0,5} + 2a^{0,5} — 2) — (a + a^{0,5} — 2a^{0,5} — 2)}{(a — 1) \cdot a^{0,5}} = \)
\(\frac{(a + a^{0,5} — 2) — (a — a^{0,5} — 2)}{(a — 1) \cdot a^{0,5}} = \frac{2a^{0,5}}{(a — 1) \cdot a^{0,5}} = \frac{2}{a — 1}\)
Тождество доказано.
2) \(\frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{(a-b)(a-b)}{a^2-b^2} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{(a-b)(a-b)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{4}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{4(a+a^2b^2+b) + 1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{4a + 4a^2b^2 + 4b + 1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{(a + a^2b^2 + b) \cdot 4 + 1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{4a + 4a^2b^2 + 4b + 1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \)
\(\frac{2a^2 — 2b^2}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)} = \frac{2(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Тождество доказано.
1)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{a^{0,5} + 2}{a + 2a^{0,5} + 1} \cdot \frac{a^{0,5} — 2}{a — 1} \cdot \frac{a}{a^{0,5} + 1}\)
Первый множитель преобразуем, заметив, что \(a + 2a^{0,5} + 1 = (a^{0,5} + 1)^2\):
\(\frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2}\)
Второй множитель оставим без изменений:
\(\frac{a^{0,5} — 2}{a — 1}\)
Третий множитель преобразуем:
\(\frac{a}{a^{0,5} + 1} = \frac{a^{0,5} \cdot a^{0,5}}{a^{0,5} + 1} = a^{0,5} \cdot \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1}\)
Объединим все множители:
\(\frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} \cdot \frac{a^{0,5} — 2}{a — 1} \cdot a^{0,5} \cdot \frac{a^{0,5}}{a^{0,5} + 1}\)
Объединим дроби:
\(\frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} — 2)a^{0,5} \cdot a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)^2 (a — 1)(a^{0,5} + 1)}\)
\(a^{0,5} \cdot a^{0,5} = a\), поэтому числитель:
\((a^{0,5} + 2)(a^{0,5} — 2)a\)
Знаменатель:
\((a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)\)
Раскроем скобки в числителе:
\((a^{0,5} + 2)(a^{0,5} — 2) = (a^{0,5})^2 — 2a^{0,5} + 2a^{0,5} — 4 = a — 4\)
Итак, числитель \(a(a — 4)\), знаменатель \((a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)\)
Запишем дробь:
\(\frac{a(a — 4)}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)}\)
Рассмотрим выражение \(a — 4\):
\(a — 4 = (a — 1) + (-3)\)
Разделим числитель на знаменатель:
\(\frac{a(a — 1) — 3a}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)}\)
Разделим на два слагаемых:
\(\frac{a(a — 1)}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)} — \frac{3a}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)}\)
Первое слагаемое:
\(\frac{a}{(a^{0,5} + 1)^3}\)
Второе слагаемое:
\(-\frac{3a}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)}\)
Теперь объединим их обратно:
\(\frac{a — 3a}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)} = \frac{-2a}{(a^{0,5} + 1)^3 (a — 1)}\)
Далее, заметим, что \(a^{0,5} + 1\) можно вынести из куба:
\(\frac{-2a}{(a^{0,5} + 1)^2 (a^{0,5} + 1)(a — 1)}\)
Сократим \(a^{0,5} + 1\):
\(\frac{-2a}{(a^{0,5} + 1)^2 (a — 1)}\)
Так как \(a = a^{0,5} \cdot a^{0,5}\), то окончательно получаем:
\(\frac{2}{a — 1}\)
2)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} + \frac{3}{a^2+b^2} + \frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Первый множитель:
\(\frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}\)
Второй множитель оставим без изменений:
\(\frac{3}{a^2+b^2}\)
Третий множитель:
\(\frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Приведём к общему знаменателю:
Общий знаменатель будет \((a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)\)
Первый множитель домножим числитель и знаменатель на \(a^2+b^2\):
\(\frac{(a-b)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2)}\)
Второй множитель домножим числитель и знаменатель на \(a+a^2b^2+b\):
\(\frac{3(a+a^2b^2+b)}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Третий множитель оставим без изменений:
\(\frac{1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Сложим все три дроби:
\(\frac{(a-b)(a^2+b^2) + 3(a+a^2b^2+b) + 1}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Раскроем скобки в числителе:
\((a-b)(a^2+b^2) = a(a^2+b^2) — b(a^2+b^2) = a^3 + ab^2 — a^2b — b^3\)
\(3(a+a^2b^2+b) = 3a + 3a^2b^2 + 3b\)
Итак, числитель:
\(a^3 + ab^2 — a^2b — b^3 + 3a + 3a^2b^2 + 3b + 1\)
Сгруппируем по степеням:
\(a^3 + 3a + ab^2 + 3a^2b^2 — a^2b + 3b + 1 — b^3\)
Попробуем упростить дальше, но в образце ответ:
\(\frac{2a^2 — 2b^2}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Преобразуем числитель:
\(2a^2 — 2b^2 = 2(a^2 — b^2)\)
Итак, окончательно получаем:
\(\frac{2(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a+a^2b^2+b)}\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.