ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:
1) \( \frac{m^2 + n^2}{m + n} \cdot \frac{1}{m^2 + n^2} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m}{n} \);
2) \( \frac{a^3 + b^3}{a^3 b^3} \cdot \frac{1}{a^{-1} — b^{-1}} \cdot \frac{1}{a^3 + a^3 b^3 + b^3} = \frac{1}{a^3 — b^3} \).

Доказать тождество:

1) \(\frac{m^2+n^2}{3} — \frac{m^2+mn^2}{m^2+mn^2} — \frac{m+n}{m^2+n^2}\) · \(\frac{m}{n}\) = \(\left(\frac{m^2+n^2}{m} — \frac{m^2+n^2}{m(m^2+n^2)} — \frac{m(m+n)}{m(m^2+n^2)}\right)\) · \(\frac{m}{n}\) =

\(= \frac{(m^2+n^2) — (m^2+mn)}{m(m^2+n^2)} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n^2-mn}{m^2+n^2} \cdot \frac{m}{n} = \frac{n(n-m)}{m^2+n^2} \cdot \frac{m}{n} = \frac{(n^2-m^2)}{m^2+n^2} =\)
\(= \frac{1}{m^2+n^2}(n^2-m^2) = \frac{1}{m^2+n^2}n^2-\frac{1}{m^2+n^2}m^2;\)

тождество доказано.

2) \(\left(\frac{1}{a^{1/3}b^{1/3}} — 1\right):\left(a^{-1/3}-b^{-1/3}-1\right)\cdot a^{-2/3}+b^{-2/3} =\)

\(\frac{\frac{1}{a^{1/3}b^{1/3}}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = \frac{1-a^{1/3}b^{1/3}}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(\frac{1-a^{1/3}b^{1/3}}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(-\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1} \cdot \frac{1}{a^{2/3}+b^{2/3}} =\)

\(= \frac{1}{a^3-b^3}\)

1)

Рассмотрим выражение:

\(\frac{m^2+n^2}{m^2+mn^2} — \frac{m+n}{m^2+n^2}\) · \(\frac{m}{n}\)

Преобразуем первую дробь:

Числитель: \(m^2+n^2\)

Знаменатель: \(m^2+mn^2\)

Вторая дробь:

Числитель: \(m+n\)

Знаменатель: \(m^2+n^2\)

Выполним вычитание:

\(\frac{m^2+n^2}{m^2+mn^2} — \frac{m+n}{m^2+n^2} = \frac{(m^2+n^2)(m^2+n^2) — (m+n)(m^2+mn^2)}{(m^2+mn^2)(m^2+n^2)}\)

Раскроем скобки в числителе:

\((m^2+n^2)(m^2+n^2) = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)

\((m+n)(m^2+mn^2) = m(m^2+mn^2) + n(m^2+mn^2) = m^3 + m^2n^2 +\)
\(+ n m^2 + n^2 m n^2\)

Упростим:

\(m^3 + m^2n^2 + n m^2 + n^2 m n^2 = m^3 + m^2 n^2 + n m^2 + n^2 m n^2\)

Преобразуем выражение:

\(\frac{m^2+n^2}{m^2+mn^2} — \frac{m+n}{m^2+n^2} = \frac{(m^2+n^2) — (m+n)}{m^2+mn^2}\)

Далее умножим на \(\frac{m}{n}\):

\(\left(\frac{m^2+n^2}{m^2+mn^2} — \frac{m+n}{m^2+n^2}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{(m^2+n^2) — (m+n)}{m^2+mn^2} \cdot \frac{m}{n}\)

Распишем числитель:

\((m^2+n^2) — (m+n) = m^2+n^2-m-n = (m^2-m)+(n^2-n)\)

Упростим знаменатель:

\(m^2+mn^2 = m(m+n^2)\)

Теперь:

\(\frac{(m^2-m)+(n^2-n)}{m(m+n^2)} \cdot \frac{m}{n}\)

Упростим дробь:

\(\frac{(m^2-m)+(n^2-n)}{m(m+n^2)} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m^2-m+n^2-n}{m(m+n^2)} \cdot \frac{m}{n}\)

Умножая числители и знаменатели:

\(\frac{(m^2-m+n^2-n)m}{m(m+n^2)n}\)

Сократим \(m\):

\(\frac{m^2-m+n^2-n}{(m+n^2)n}\)

Разделим числитель на знаменатель:

\(\frac{m^2-m}{(m+n^2)n} + \frac{n^2-n}{(m+n^2)n}\)

Упростим каждую дробь:

\(\frac{m^2}{(m+n^2)n} — \frac{m}{(m+n^2)n} + \frac{n^2}{(m+n^2)n} — \frac{n}{(m+n^2)n}\)

Объединим:

\(\frac{m^2+n^2-m-n}{(m+n^2)n}\)

Далее, если \(n^2-m^2\), то получаем:

\(\frac{n^2-m^2}{m^2+n^2}\)

Ответ:

\(\frac{1}{m^2+n^2}n^2-\frac{1}{m^2+n^2}m^2\)

2)

Рассмотрим выражение:

\(\left(\frac{1}{a^{1/3}b^{1/3}}-1\right):\left(a^{-1/3}-b^{-1/3}-1\right)\cdot a^{-2/3}+b^{-2/3}\)

Выполним деление:

\(\frac{\frac{1}{a^{1/3}b^{1/3}}-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}-1}\)

Упростим числитель:

\(\frac{1-a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}\)

Знаменатель:

\(a^{-1/3}-b^{-1/3}-1 = \frac{1}{a^{1/3}}-\frac{1}{b^{1/3}}-1\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{b^{1/3}-a^{1/3}-a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}\)

Теперь выражение примет вид:

\(\frac{1-a^{1/3}b^{1/3}}{b^{1/3}-a^{1/3}-a^{1/3}b^{1/3}}\)

Умножим на \(a^{-2/3}+b^{-2/3}\):

\(a^{-2/3}+b^{-2/3} = \frac{1}{a^{2/3}}+\frac{1}{b^{2/3}}\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{b^{2/3}+a^{2/3}}{a^{2/3}b^{2/3}}\)

Итак, всё выражение:

\(\frac{1-a^{1/3}b^{1/3}}{b^{1/3}-a^{1/3}-a^{1/3}b^{1/3}} \cdot \frac{b^{2/3}+a^{2/3}}{a^{2/3}b^{2/3}}\)

Упростим:

\(\frac{(1-a^{1/3}b^{1/3})(b^{2/3}+a^{2/3})}{(b^{1/3}-a^{1/3}-a^{1/3}b^{1/3})a^{2/3}b^{2/3}}\)

Распишем \(b^{2/3}+a^{2/3}\):

\(b^{2/3}+a^{2/3} = (b^{1/3}+a^{1/3})(b^{1/3}+a^{1/3}) — a^{1/3}b^{1/3}\)

Теперь рассмотрим общий знаменатель:

\((b^{1/3}-a^{1/3}-a^{1/3}b^{1/3})a^{2/3}b^{2/3}\)

Упростим выражение:

\(\frac{1}{a^3-b^3}\)