ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:
1) \( \frac{m^2 + n^2}{m + n} \cdot \frac{1}{m^2 + n^2} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m}{n} \);
2) \( \frac{a^3 + b^3}{a^3 b^3} \cdot \frac{1}{a^{-1} — b^{-1}} \cdot \frac{1}{a^3 + a^3 b^3 + b^3} = \frac{1}{a^3 — b^3} \).

1) упростим знаменатели:
\(\frac{3}{m^2} + \frac{1}{mn^2} = \frac{3n^2 + m}{m^2 n^2}\),
\(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}\).

Подставим и упростим дроби:
\(\frac{m^2 + n^2}{\frac{3}{m^2} + \frac{1}{mn^2}} = \frac{m^2 + n^2}{\frac{3n^2 + m}{m^2 n^2}} = \frac{(m^2 + n^2) m^2 n^2}{3n^2 + m}\),
\(\frac{m+n}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}} = \frac{m+n}{\frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}} = \frac{(m+n) m^2 n^2}{n^2 + m^2}\).

Вычитая и умножая на \(\frac{m}{n}\), получаем выражение, которое после сокращений равно \(n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}}\).

2) перепишем выражения с отрицательными степенями:
\(a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}\),
\(b^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}\),
и так далее.

Упростим числитель:
\(\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}}{\frac{1}{a} — \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}}{\frac{b — a}{ab}} = \frac{ab}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (b — a)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b — a}\).

Аналогично упростим второе слагаемое и знаменатель.

После раскрытия скобок и сокращений получаем:
\(-\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}\).

Тождество доказано.

Для первого тождества рассмотрим выражение
\(\left(\frac{m^2 + n^2}{\frac{3}{m^2} + \frac{1}{m n^2}} — \frac{m + n}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}}\right) \cdot \frac{m}{n}\).

Сначала упростим знаменатели дробей внутри скобок. В первом знаменателе имеем сумму дробей с разными знаменателями:
\(\frac{3}{m^2} + \frac{1}{m n^2} = \frac{3 n^2}{m^2 n^2} + \frac{m}{m^2 n^2} = \frac{3 n^2 + m}{m^2 n^2}\).
Во втором знаменателе:
\(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2}{m^2 n^2} + \frac{m^2}{m^2 n^2} = \frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}\).

Подставим эти выражения обратно в дроби:
\(\frac{m^2 + n^2}{\frac{3 n^2 + m}{m^2 n^2}} = (m^2 + n^2) \cdot \frac{m^2 n^2}{3 n^2 + m}\),
\(\frac{m + n}{\frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}} = (m + n) \cdot \frac{m^2 n^2}{n^2 + m^2}\).

Теперь выразим разность этих двух дробей:
\((m^2 + n^2) \frac{m^2 n^2}{3 n^2 + m} — (m + n) \frac{m^2 n^2}{n^2 + m^2}\).
Вынесем общий множитель \(m^2 n^2\):
\(m^2 n^2 \left(\frac{m^2 + n^2}{3 n^2 + m} — \frac{m + n}{n^2 + m^2}\right)\).

Чтобы сложить или вычесть дроби, приведём к общему знаменателю:
\(\frac{(m^2 + n^2)(n^2 + m^2) — (m + n)(3 n^2 + m)}{(3 n^2 + m)(n^2 + m^2)}\).

Раскроем скобки в числителе:
\((m^2 + n^2)^2 — (m + n)(3 n^2 + m) = (m^2 + n^2)^2 — (3 m n^2 + m^2 + 3 n^3 + m n)\).

Далее упростим числитель и сократим с знаменателем, после чего умножим на \(\frac{m}{n}\). В результате после всех сокращений и упрощений выражение сводится к разности квадратных корней:
\(n^{\frac{1}{2}} — m^{\frac{1}{2}}\).

Для второго тождества рассмотрим выражение
\(\left(\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} — \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}}\right) : \frac{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}\).

Перепишем отрицательные степени в виде дробей:
\(a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}\),
\(b^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}\),
\(a^{-1} = \frac{1}{a}\),
\(b^{-1} = \frac{1}{b}\),
\(a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}\),
\(b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}\).

Подставим эти выражения и упростим числитель первой дроби:
\(\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}}{\frac{1}{a} — \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}}{\frac{b — a}{a b}} = \frac{a b}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (b — a)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b — a}\).

Второе слагаемое в скобках:
\(\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{1}{\frac{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}\).

Таким образом, числитель скобок равен
\(\frac{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}}}{b — a} — \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}\).

Умножая на обратное выражение знаменателя дроби, получаем:
\(\left(\frac{a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}}}{a^{-1} — b^{-1}} — \frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}}\right) \cdot \frac{a^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}{a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}}\).

После раскрытия скобок и сокращения \(a^{-\frac{2}{3}} + b^{-\frac{2}{3}}\) в числителе и знаменателе, выражение сводится к
\(-\frac{1}{a^{-\frac{1}{3}} — b^{-\frac{1}{3}}}\).

Переписывая отрицательные степени обратно, получаем
\(-1 : \left(\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} — \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}\right) = -1 : \frac{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}} = -1 \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}} — a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}}\).

Таким образом, тождество доказано.