ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \( a^5 — 2a^3 b^3 + a b^5 : a^3 — a^3 b^3 — a b^2 — a b^5 + a^3 b : a^3 \);
2) \( \frac{x^3 + 2^3 x y + 4 y^3}{(\sqrt[4]{x} — 8 y \sqrt{x})} : \sqrt{x y} \).

1)
\(\frac{a^7 — 2a^5b^3 + a^4b^3}{a^3 — a^3b^3 — ab^3 + a^3b}\cdot a\left(\frac{a^4 — a^3b^3}{a^3 — b^3}\right)^2\cdot \left(\frac{a^3 — 2a^3b^3 + b^3}{a^3 — b^3}\right)^2\cdot \left(\frac{a^3}{a^3 — b^3}\right) =\)

\(\frac{a^5 — a^4b^3}{a^3 — a^3b^3}\cdot \frac{a^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2 — 2a^2b^3 + b^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{a^3 — b^3}\)

\(= \frac{a^4}{(a^3 — a^3b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2 — 2a^2b^3 + b^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{a^3 — b^3}\)

\(= \frac{a^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2 — 2a^2b^3 + b^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{a^3 — b^3}\)

\(= \frac{a^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2 — 2a^2b^3 + b^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{a^3 — b^3}\)

\(= \frac{a^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2 — 2a^2b^3 + b^2}{(a^3 — b^3)^2}\cdot \frac{a^2}{a^3 — b^3}\)

\(= \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\)

Ответ: \(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\)

2)
\(\frac{x^3 + 2\sqrt{x}y + 4y^3}{\sqrt{x^4 — 8y\sqrt{x}}} : \sqrt{xy} \left(2 — \sqrt{\frac{x}{y}}\right) =\)

\(\frac{x^3 + 2x^3y^3 + 4y^3}{x^3y^3}\left(2 — \frac{x^3}{y^3}\right)\)

\(= \frac{2y^3 — x^3}{x^3(x — 8y)}\)

\(\frac{8y — x}{x — 8y} = -1\)

Ответ: \(-1\)

1)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{a^7 — 2a^5b^3 + a^4b^3}{a^3 — a^3b^3 — ab^3 + a^3b} \cdot a \left(\frac{a^4 — a^3b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^3 — 2a^3b^3 + b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^3}{a^3 — b^3}\right)\)

В числителе первой дроби вынесем \(a^4\):
\(a^7 — 2a^5b^3 + a^4b^3 = a^4(a^3 — 2ab^3 + b^3)\)

В знаменателе первой дроби вынесем \(a\):
\(a^3 — a^3b^3 — ab^3 + a^3b = a(a^2 — a^2b^3 — b^2b^3 + a^2b)\)

Далее, упростим выражения:
\(\frac{a^4(a^3 — 2ab^3 + b^3)}{a(a^2 — a^2b^3 — b^2b^3 + a^2b)} \cdot a \left(\frac{a^4 — a^3b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^3 — 2a^3b^3 + b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^3}{a^3 — b^3}\right)\)

Сокращаем \(a\) в первой дроби:
\(\frac{a^4(a^3 — 2ab^3 + b^3)}{a^2 — a^2b^3 — b^2b^3 + a^2b} \left(\frac{a^4 — a^3b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \left(\frac{a^3 — 2a^3b^3 + b^3}{a^3 — b^3}\right)^2 \left(\frac{a^3}{a^3 — b^3}\right)\)

Заметим, что \(a^4 — a^3b^3 = a^3(a — b^3)\), \(a^3 — 2a^3b^3 + b^3 = (a^3 — b^3)^2\), а знаменатель можно также расписать.

Теперь заменим:
\(\frac{a^4(a^3 — 2ab^3 + b^3)}{a^2(1 — b^3) + a^2b — b^2b^3} \cdot \frac{a^6(a — b^3)^2}{(a^3 — b^3)^2} \cdot \frac{(a^3 — b^3)^4}{(a^3 — b^3)^4} \cdot \frac{a^3}{a^3 — b^3}\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
В результате останется:
\(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3}\)

2)
Рассмотрим выражение:
\(\frac{x^3 + 2\sqrt{x}y + 4y^3}{\sqrt{x^4 — 8y\sqrt{x}}} : \sqrt{xy} \left(2 — \sqrt{\frac{x}{y}}\right)\)

Сначала упростим числитель:
\(x^3 + 2\sqrt{x}y + 4y^3\)

Знаменатель:
\(\sqrt{x^4 — 8y\sqrt{x}}\)

Выполним деление на \(\sqrt{xy}\):
\(\frac{x^3 + 2\sqrt{x}y + 4y^3}{\sqrt{x^4 — 8y\sqrt{x}} \cdot \sqrt{xy}}\)

Вынесем общий множитель и преобразуем:
\(= \frac{(x^3 + 2x^{3/2}y + 4y^3)}{x^2 — 8y x^{1/2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Преобразуем \(\sqrt{x^4 — 8y\sqrt{x}}\) к \(x^2 — 8y x^{1/2}\).

Теперь преобразуем выражение:
\(= \frac{x^3 + 2x^{3/2}y + 4y^3}{x^2 — 8yx^{1/2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Домножим и упростим:
\(= \frac{x^3 + 2x^{3/2}y + 4y^3}{x^2\sqrt{xy} — 8y x^{1/2}\sqrt{xy}}\)

Преобразуем \(\sqrt{xy}\) к \(x^{1/2}y^{1/2}\), получим:
\(= \frac{x^3 + 2x^{3/2}y + 4y^3}{x^2x^{1/2}y^{1/2} — 8y x^{1/2}x^{1/2}y^{1/2}}\)

\(= \frac{x^3 + 2x^{3/2}y + 4y^3}{x^{5/2}y^{1/2} — 8y x y^{1/2}}\)

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:
\(= \frac{x^{3/2}(x^{3/2} + 2y + 4y^{3/2})}{x^{5/2}y^{1/2} — 8x y^{3/2}}\)

Делим на \(\left(2 — \sqrt{\frac{x}{y}}\right)\):

\(= \frac{x^{3/2}(x^{3/2} + 2y + 4y^{3/2})}{x^{5/2}y^{1/2} — 8x y^{3/2}} \cdot \frac{1}{2 — \sqrt{\frac{x}{y}}}\)

Преобразуем \(\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{x^{1/2}}{y^{1/2}}\):

Окончательно:
\(= -1\)