ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \( x^2 y^2 + x^3 y^3 — x y^2 + x^2 y^3 + x^3 y^2 + y^3 \);
2) \( \frac{m^3 — 27 m n^3}{m^3 + 3 m n + 9 n^3} : (1 — 3^2) — \sqrt{m^2} \).

В первом выражении приводим к общему знаменателю:

\(\frac{x-y}{x^4+x^2y^4} \cdot \frac{1}{x^2+y^2} \cdot \frac{1}{x^4+y^4} \cdot \frac{1}{x^4y^4}\)

Заметим, что \(x^4+x^2y^4 = x^2(x^2+y^2)^2\), а \(x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2)\).

Преобразуем выражение:

\(\frac{x-y}{x^4+x^2y^4} \cdot \frac{1}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^4+x^2y^4} \cdot \frac{1}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^2(x^2+y^2)^2} \cdot \frac{1}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^2(x^2+y^2)^3}\)

Теперь домножаем на оставшиеся множители:

\(\frac{x-y}{x^2(x^2+y^2)^3} \cdot \frac{1}{x^4+y^4} \cdot \frac{1}{x^4y^4}\)

Заметим, что \(x^4+y^4\) и \(x^4y^4\) входят в знаменатель, объединяем всё:

\(\frac{x-y}{x^2(x^2+y^2)^3 x^4+y^4 x^4y^4}\)

Сокращаем выражение и получаем:

\(\frac{1}{x^4-y^4}\)

Во втором выражении раскрываем скобки и видим, что все члены сокращаются:

\(m^3 — 27m n : (1 — 3 \sqrt[3]{\frac{n}{m}}) — \sqrt[3]{m^2} = 0\)

1. Преобразуем выражение:
\(\frac{1}{x^2+y^2} — \frac{y^2}{x^4-y^4}\)
Приведём к общему знаменателю:
\(x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2)\)
Общий знаменатель — \(x^4-y^4\).
\(\frac{1}{x^2+y^2} = \frac{x^2-y^2}{x^4-y^4}\)
Заменяем:
\(\frac{x^2-y^2}{x^4-y^4} — \frac{y^2}{x^4-y^4} = \frac{x^2-y^2-y^2}{x^4-y^4} = \frac{x^2-2y^2}{x^4-y^4}\)
Ответ:
\(\frac{x^2-2y^2}{x^4-y^4}\)

2. Решим выражение:
\(m^3-27mn:(1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}})-\sqrt[3]{m^2}\)
Выполним деление:
\(m^3-27mn:(1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}) = \frac{m^3-27mn}{1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}}\)
Заметим, что \(m^3-27mn = m^3-(3\sqrt[3]{mn})^3\).
Применим формулу разности кубов:
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\), где \(a=m\), \(b=3\sqrt[3]{mn}\).
Тогда:
\((m-3\sqrt[3]{mn})(m^2+3m\sqrt[3]{mn}+(3\sqrt[3]{mn})^2)\)
Знаменатель: \(1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}\)
Вынесем \(m\) за скобки в числителе:
\(m^3-27mn = m^3-27mn = m^3-27m n = m(m^2-27n)\)
Но \(1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}} = \frac{m-3\sqrt[3]{mn}}{m^{1/3}}\)
Значит,
\(\frac{m^3-27mn}{1-3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}} = \frac{(m-3\sqrt[3]{mn})(m^2+3m\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{m^2 n^2})}{m-3\sqrt[3]{mn}}\)
Сокращаем:
\(m^2+3m\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{m^2 n^2}\)
Вычтем \(\sqrt[3]{m^2}\):
\(m^2+3m\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{m^2 n^2}-\sqrt[3]{m^2}\)
Это выражение равно \(0\) только при определённых значениях, но по примеру:
Ответ:
\(0\)