ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:
1) \( x^2 y^2 + x^3 y^3 — x y^2 + x^2 y^3 + x^3 y^2 + y^3 \);
2) \( \frac{m^3 — 27 m n^3}{m^3 + 3 m n + 9 n^3} : (1 — 3^2) — \sqrt{m^2} \).

\(1)\quad \frac{x — y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} — 2 x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}} = \)

\(= \frac{\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)^2} = \)

\(= \frac{x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}}{\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)^2} = \frac{\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right) \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)^2} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}};\)

Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}}\).

\(2)\quad \frac{m^{\frac{4}{3}} — 27 m^{\frac{1}{3}} n}{m^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[3]{m n} + 9 n^{\frac{2}{3}}} : \left(1 — 3 \sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right) — \sqrt[3]{m^2} = \)

\(= \frac{m^{\frac{1}{3}} (m — 27 n)}{m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + 9 n^{\frac{2}{3}}} : \frac{m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}} — m^{\frac{2}{3}} = \)

\(= \frac{m^{\frac{1}{3}} (m — 27 n)}{m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + 9 n^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}} — m^{\frac{2}{3}} = \)

\(= \frac{m^{\frac{1}{3}} (m — 27 n) \cdot m^{\frac{1}{3}}}{\left(m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + 9 n^{\frac{2}{3}}\right) \left(m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}\right)} — m^{\frac{2}{3}} = \)

\(= \frac{m^{\frac{2}{3}} (m — 27 n)}{m — 27 n} — m^{\frac{2}{3}} = m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{2}{3}} = 0;\)

Ответ: \(0.\)

Рассмотрим первое выражение. Вначале у нас есть произведение трех дробей: первая дробь \(\frac{x — y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}}\), вторая дробь \(\frac{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\), и третья дробь \(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} — 2 x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}\). Первая задача — упростить каждую из них и найти общий знаменатель для упрощения всего выражения. Обратите внимание, что в числителе первой дроби стоит разность \(x — y\), а в знаменателе — сумма с корнями степеней \(x\) и \(y\), что указывает на возможность применения формул сокращенного умножения.

Далее преобразуем числитель первой дроби, используя разложение разности степеней: \(x — y = (x^{\frac{1}{2}})^2 — (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})\). Это позволяет нам представить числитель в виде произведения двух выражений. Знаменатель первой дроби содержит сумму \(x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}\), которую можно переписать, выделив общий множитель \(x^{\frac{1}{2}}\), что упрощает дальнейшие вычисления. Аналогично, во второй дроби числитель и знаменатель содержат суммы корней степеней \(x\) и \(y\), что также способствует сокращению.

Третья дробь знаменатель — выражение \(x^{\frac{1}{2}} — 2 x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}\) является квадратом разности: \(\left(x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}\right)^2\). Это ключевой момент, поскольку квадрат в знаменателе позволяет упростить произведение дробей, сократив соответствующие множители. После последовательного раскрытия скобок и сокращений мы получаем итоговое выражение \(\frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} — y^{\frac{1}{4}}}\), что и является ответом.

Переходим ко второму выражению. Здесь дано отношение \(\frac{m^{\frac{4}{3}} — 27 m^{\frac{1}{3}} n}{m^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[3]{m n} + 9 n^{\frac{2}{3}}}\), которое делится на выражение \(\left(1 — 3 \sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right)\), из которого вычитается \(\sqrt[3]{m^2}\). Начинаем с того, что в числителе выделяем общий множитель \(m^{\frac{1}{3}}\), что дает \(m^{\frac{1}{3}} (m — 27 n)\). Знаменатель — сумма кубических корней и степеней, которая может быть представлена в виде кубического бинома, что важно для последующих преобразований.

Далее преобразуем выражение деления в умножение на обратное значение. Выражение \(\left(1 — 3 \sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right)\) переписываем как \(\frac{m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}}\), что позволяет записать деление как умножение на \(\frac{m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}}\). Произведение числителей и знаменателей упрощается, и после сокращения получаем выражение с произведением в числителе \(m^{\frac{1}{3}} (m — 27 n) \cdot m^{\frac{1}{3}}\) и произведением в знаменателе \(\left(m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{1}{3}} + 9 n^{\frac{2}{3}}\right) \left(m^{\frac{1}{3}} — 3 n^{\frac{1}{3}}\right)\).

Завершающий шаг — распознавание, что знаменатель является разложением кубического бинома \(m — 27 n\), что позволяет сократить с числителем. В итоге остается \(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{2}{3}} = 0\), что и является окончательным ответом. Таким образом, все сложные корни и степени сводятся к простому нулю после правильных преобразований и сокращений.