ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \( a^0 + a^{1,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + \dots + a^1 \).

Если \(a = 1\), то все слагаемые равны 1, их 24, значит сумма \(24\).

Если \(a \neq 1\), это геометрическая прогрессия с первым членом \(a^{0.2}\) и знаменателем \(a^{0.3}\), всего 24 члена.

Сумма:
\(S = a^{0.2} + a^{0.5} + a^{0.8} + \ldots + a^{7.1}\)

Формула суммы:
\(S = \frac{a^{0.2}(a^{0.3 \cdot 24} — 1)}{a^{0.3} — 1}\)

\(a^{0.3 \cdot 24} = a^{7.2}\)

\(S = \frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\)

Ответ: \(24\), если \(a = 1\); \(\frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\), если \(a \neq 1\)

1. Дана последовательность: \(a^{0.2}\), \(a^{0.5}\), \(a^{0.8}\), \(\ldots\), \(a^{7.1}\).

2. Найдём разность показателей степеней: \(0.5 — 0.2 = 0.3\), \(0.8 — 0.5 = 0.3\). Значит, последовательность — геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на \(a^{0.3}\).

3. Первый член прогрессии: \(a^{0.2}\).

4. Знаменатель прогрессии: \(a^{0.3}\).

5. Количество членов:
\(n = \frac{7.1 — 0.2}{0.3} + 1 = \frac{6.9}{0.3} + 1 = 23 + 1 = 24\).

6. Если \(a = 1\), то все члены равны 1, сумма равна количеству членов: \(24\).

7. Если \(a \neq 1\), используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1(r^n — 1)}{r — 1}\), где \(b_1 = a^{0.2}\), \(r = a^{0.3}\), \(n = 24\).

8. Вычислим \(r^n = (a^{0.3})^{24} = a^{0.3 \cdot 24} = a^{7.2}\).

9. Тогда сумма:
\(S = \frac{a^{0.2}(a^{7.2} — 1)}{a^{0.3} — 1}\).

10. Преобразуем числитель: \(a^{0.2} \cdot a^{7.2} = a^{7.4}\), значит
\(S = \frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\).

Ответ: \(24\), если \(a = 1\); \(\frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\), если \(a \neq 1\).