ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \( a^0 + a^{1,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + \dots + a^1 \).

Если \(a = 1\), то все слагаемые равны 1, их 24, значит сумма \(24\).

Если \(a \neq 1\), это геометрическая прогрессия с первым членом \(a^{0.2}\) и знаменателем \(a^{0.3}\), всего 24 члена.

Сумма:
\(S = a^{0.2} + a^{0.5} + a^{0.8} + \ldots + a^{7.1}\)

Формула суммы:
\(S = \frac{a^{0.2}(a^{0.3 \cdot 24} — 1)}{a^{0.3} — 1}\)

\(a^{0.3 \cdot 24} = a^{7.2}\)

\(S = \frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\)

Ответ: \(24\), если \(a = 1\); \(\frac{a^{7.4} — a^{0.2}}{a^{0.3} — 1}\), если \(a \neq 1\)

Рассмотрим выражение \(a^0 + a^{1,5} + a^{0,8} + a^{1,1} + \ldots + a^1\). Чтобы упростить эту сумму, сначала нужно понять структуру степеней и количество слагаемых. Обратите внимание, что степени изменяются с шагом 0,3, начиная с \(0,2\) и заканчивая \(7,1\), всего 24 члена. Это характерно для геометрической прогрессии, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель.

Если \(a = 1\), то любая степень \(a\) равна 1, то есть каждый член равен 1. Поскольку таких членов 24, сумма будет равна просто количеству членов, то есть \(24\). В этом случае вычисления очень просты, и результат очевиден.

Если \(a \neq 1\), то сумма является геометрической прогрессией с первым членом \(a^{0,2}\) и знаменателем прогрессии \(a^{0,3}\), так как каждый следующий член получается умножением степени на 0,3. Формула суммы геометрической прогрессии с \(n\) членами, первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\) записывается как \(S = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\). В нашем случае \(b_1 = a^{0,2}\), \(q = a^{0,3}\), \(n = 24\). Подставляя, получаем \(S = a^{0,2} \frac{a^{0,3 \cdot 24} — 1}{a^{0,3} — 1}\).

Далее упростим степень в числителе: \(a^{0,3 \cdot 24} = a^{7,2}\). Тогда сумма примет вид \(S = \frac{a^{7,4} — a^{0,2}}{a^{0,3} — 1}\), так как \(a^{0,2} \cdot a^{7,2} = a^{7,4}\). Итоговое выражение для суммы прогрессии при \(a \neq 1\) имеет вид \(\frac{a^{7,4} — a^{0,2}}{a^{0,3} — 1}\).

Таким образом, окончательный ответ для суммы всех членов выражения будет следующим: