ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие натуральные числа \( n \) и \( k \), что значение выражения \( 5^n + 1 \) кратно значению выражения \( 5^k — 1 \)?

Пусть \(5^n + 1\) делится на \(5^k — 1\).

Рассмотрим остатки:

\(5^n + 1\) всегда нечётное и при делении на 4 даёт остаток 2, так как \(5^n\) нечётное, а \(5^k — 1\) делится на 4, так как \(5^k\) нечётное и \(5^k — 1\) чётное.

Следовательно, \(5^n + 1\) никогда не делится на \(5^k — 1\), потому что остатки по модулю 4 разные.

Ответ: \(\emptyset\) — таких натуральных чисел нет.

1) Если \(n = 1\), \(k = 1\), тогда:
\(5^{1} + 1 = 5 + 1 = 6\);
\(5^{1} — 1 = 5 — 1 = 4\);

2) Первое выражение:
Разность двух последовательных значений:
\(d = (5^{n+1} + 1) — (5^{n} + 1) = 5^{n+1} — 5^{n}\);
\(d = 5 \cdot 5^{n} — 5^{n} = 5^{n}(5 — 1) = 5^{n} \cdot 4\);

3) Второе выражение:
Разность двух последовательных значений:
\(d = (5^{k+1} — 1) — (5^{k} — 1) = 5^{k+1} — 5^{k}\);
\(d = 5 \cdot 5^{k} — 5^{k} = 5^{k}(5 — 1) = 5^{k} \cdot 4\);

4) Числа \(5^{n} + 1\) не делятся на 4, а числа \(5^{k} — 1\) делятся на 4.

Ответ: нет.