ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие натуральные числа \( n \) и \( k \), что значение выражения \( 5^n + 1 \) кратно значению выражения \( 5^k — 1 \)?

Пусть \(5^n + 1\) делится на \(5^k — 1\).

Рассмотрим остатки:

\(5^n + 1\) всегда нечётное и при делении на 4 даёт остаток 2, так как \(5^n\) нечётное, а \(5^k — 1\) делится на 4, так как \(5^k\) нечётное и \(5^k — 1\) чётное.

Следовательно, \(5^n + 1\) никогда не делится на \(5^k — 1\), потому что остатки по модулю 4 разные.

Ответ: \(\emptyset\) — таких натуральных чисел нет.

Пусть существуют такие натуральные числа \( n \) и \( k \), что выражение \( 5^n + 1 \) делится на выражение \( 5^k — 1 \). Это означает, что число \( 5^k — 1 \) является делителем числа \( 5^n + 1 \), то есть существует целое число \( m \), для которого выполняется равенство:

\( 5^n + 1 = m \cdot (5^k — 1) \).

Рассмотрим теперь остатки от деления чисел \( 5^n + 1 \) и \( 5^k — 1 \) по модулю 4. Для этого сначала найдем остаток от деления \( 5^n \) по модулю 4. Поскольку \( 5 \equiv 1 \pmod{4} \), то для любого натурального \( n \) имеем:

\( 5^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{4} \).

Следовательно,

\( 5^n + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4} \).

Теперь рассмотрим \( 5^k — 1 \). Аналогично, по модулю 4:

\( 5^k \equiv 1 \pmod{4} \),

поэтому

\( 5^k — 1 \equiv 1 — 1 \equiv 0 \pmod{4} \).

Это означает, что \( 5^k — 1 \) делится на 4, а \( 5^n + 1 \) при делении на 4 дает остаток 2. Если число \( 5^n + 1 \) делится на \( 5^k — 1 \), то оно также должно делиться на 4, поскольку \( 5^k — 1 \) делится на 4. Но это невозможно, так как остатки по модулю 4 у этих чисел различны: у \( 5^k — 1 \) остаток 0, у \( 5^n + 1 \) — 2.

Из этого следует, что нет таких натуральных чисел \( n \) и \( k \), при которых \( 5^n + 1 \) делится на \( 5^k — 1 \). То есть множество таких пар \((n, k)\) пусто:

\( \emptyset \).

Таким образом, условие делимости не может быть выполнено из-за несовпадения остатков по модулю 4, что доказывает невозможность существования таких натуральных чисел.