ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не существует такого натурального числа \( p \), для которого числа \( p + 5 \) и \( p + 10 \) являются простыми

Пусть \(p\) — натуральное число.

Если \(p\) — чётное, тогда \(p + 5\) — нечётное, а \(p + 10\) — чётное. Среди простых чисел только 2 — чётное, но если \(p + 10 = 2\), то \(p = -8\), а это не натуральное число.

Если \(p\) — нечётное, тогда \(p + 5\) — чётное. Среди простых чисел только 2 — чётное, но если \(p + 5 = 2\), то \(p = -3\), а это не натуральное число.

Следовательно, не существует натурального числа \(p\), для которого оба числа \(p + 5\) и \(p + 10\) являются простыми: ответ — \(\emptyset\).

1) Рассмотрим, могут ли выражения \(p + 5\) и \(p + 10\) быть равны двум.

\(p + 5 = 2\) тогда \(p = -3\), но \(-3\) не принадлежит множеству натуральных чисел (\(p = -3 \notin \mathbb{N}\)).

\(p + 10 = 2\) тогда \(p = -8\), но \(-8\) также не принадлежит множеству натуральных чисел (\(p = -8 \notin \mathbb{N}\)).

Таким образом, оба выражения не могут быть равны двум.

2) Пусть \(p\) — чётное число. Тогда \(p = 2k\), где \(k \in \mathbb{N}\).

Тогда \(p + 5 = 2k + 5\) — нечётное число, а \(p + 10 = 2k + 10\) — чётное число. Среди простых чисел только 2 является чётным.

Если \(p + 10 = 2\), то \(p = -8\), что не является натуральным числом (\(p = -8 \notin \mathbb{N}\)).

Если \(p + 10 > 2\), то \(p + 10\) — чётное и больше двух, а значит делится на 2 и не может быть простым.

3) Пусть \(p\) — нечётное число. Тогда \(p = 2k + 1\), где \(k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\).

Тогда \(p + 5 = 2k + 6\) — чётное число. Среди простых чисел только 2 является чётным.

Если \(p + 5 = 2\), то \(p = -3\), что не является натуральным числом (\(p = -3 \notin \mathbb{N}\)).

Если \(p + 5 > 2\), то \(p + 5\) — чётное и больше двух, а значит делится на 2 и не может быть простым.

Что и требовалось доказать.