ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените корень степенью с дробным показателем: 1) \(\sqrt{a^{3}}\); 2) \(\sqrt[4]{m^{-9}}\); 3) \(\sqrt[5]{5a^{5}}\); 4) \(\sqrt{x + y}\); 5) \(\sqrt[3]{0.38}\).

1) \(\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}\); Ответ: \(a^{\frac{3}{5}}\).

2) \(\sqrt[9]{m^{14}} = m^{\frac{14}{9}}\); Ответ: \(m^{\frac{14}{9}}\).

3) \(\sqrt[5]{(5a^5)^6} = (5a^5)^{\frac{6}{5}}\); Ответ: \((5a^5)^{\frac{6}{5}}\).

4) \(\sqrt[4]{x^4 + y} = (x^4 + y)^{0,25}\); Ответ: \((x^4 + y)^{0,25}\).

5) \(\sqrt[8]{0,3^{13}} = 0,3^{\frac{13}{8}}\); Ответ: \(0,3^{\frac{13}{8}}\).

1) Для преобразования выражения \(\sqrt[5]{a^3}\) в степень с дробным показателем, воспользуемся правилом, что корень \(n\)-ой степени из числа можно записать как степень с показателем \(\frac{1}{n}\). Здесь корень пятой степени, значит показатель будет \(\frac{1}{5}\). Возводимый в степень показатель внутри корня умножается на показатель корня, то есть \(a^3\) преобразуется в \(a^{3 \cdot \frac{1}{5}}\), что равно \(a^{\frac{3}{5}}\). Таким образом, \(\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}\). Ответ: \(a^{\frac{3}{5}}\).

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt[9]{m^{14}}\). Согласно правилу преобразования корня в степень, корень девятой степени означает показатель \(\frac{1}{9}\). Показатель внутри корня \(m^{14}\) умножается на \(\frac{1}{9}\), что дает \(m^{14 \cdot \frac{1}{9}} = m^{\frac{14}{9}}\). Итак, \(\sqrt[9]{m^{14}} = m^{\frac{14}{9}}\). Ответ: \(m^{\frac{14}{9}}\).

3) Преобразуем \(\sqrt[5]{(5a^5)^6}\). Сначала упростим выражение внутри корня. Возведем \(5a^5\) в шестую степень: \((5a^5)^6 = 5^6 \cdot (a^5)^6 = 5^6 \cdot a^{5 \cdot 6} = 5^6 \cdot a^{30}\). Теперь извлекаем корень пятой степени, что эквивалентно возведению в степень \(\frac{1}{5}\): \((5^6 \cdot a^{30})^{\frac{1}{5}} = 5^{6 \cdot \frac{1}{5}} \cdot a^{30 \cdot \frac{1}{5}} = 5^{\frac{6}{5}} \cdot a^6\). Но можно сразу применить правило к исходному выражению: \(\sqrt[5]{(5a^5)^6} = (5a^5)^{\frac{6}{5}}\). Ответ: \((5a^5)^{\frac{6}{5}}\).

4) Для выражения \(\sqrt[4]{x^4 + y}\) применим правило преобразования корня в степень. Корень четвертой степени эквивалентен возведению в степень \(\frac{1}{4}\), или 0,25. Поскольку внутри корня стоит сумма \(x^4 + y\), мы не можем упростить её дальше, поэтому просто записываем всё выражение как \((x^4 + y)^{\frac{1}{4}}\), что равно \((x^4 + y)^{0,25}\). Ответ: \((x^4 + y)^{0,25}\).

5) Преобразуем \(\sqrt[8]{0,3^{13}}\). Корень восьмой степени означает возведение в степень \(\frac{1}{8}\). Показатель внутри корня 13 умножается на \(\frac{1}{8}\), что даёт \(0,3^{13 \cdot \frac{1}{8}} = 0,3^{\frac{13}{8}}\). Таким образом, \(\sqrt[8]{0,3^{13}} = 0,3^{\frac{13}{8}}\). Ответ: \(0,3^{\frac{13}{8}}\).