ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените корень степенью с дробным показателем:
1) \(\sqrt[7]{a^3}\);
2) \(\sqrt[14]{m^{-9}}\);
3) \(\sqrt[6]{5a^5}\);
4) \(\sqrt[4]{x+y}\);
5) \(\sqrt[13]{0,3^8}\).

1) \(\sqrt[7]{a^3}=a^{\frac{3}{7}}\). Переход: \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\).

2) \(\sqrt[14]{m^{-9}}=m^{-\frac{9}{14}}\). Показатель сохраняется как дробь: \(\frac{-9}{14}\).

3) \(\sqrt[6]{5a^5}=5^{\frac{1}{6}}a^{\frac{5}{6}}\). Корень распределяем по множителям: \(\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\).

4) \(\sqrt[4]{x+y}=(x+y)^{\frac{1}{4}}\). Скобки сохраняют сумму под корнем.

5) \(\sqrt[13]{0,3^8}=(0{,}3)^{\frac{8}{13}}\). Степень под корнем переходит в числитель дробного показателя.

1) \(\sqrt[7]{a^3}=a^{\frac{3}{7}}\). Используем основное соответствие между корнями и степенями: \(\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\). Если под корнем стоит степень \(x^m\), то показатель степени переходит в числитель дробного показателя: \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\). Здесь \(m=3\), \(n=7\), поэтому получаем \(a^{\frac{3}{7}}\). Такая запись удобна для дальнейших операций со степенями: умножения, деления и возведения в степень, где действуют обычные правила показателей.

2) \(\sqrt[14]{m^{-9}}=m^{-\frac{9}{14}}\). Сначала применяем то же правило перехода от корня к дробной степени: \(\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\). Знак минус в показателе сохраняется, он означает обратную степень: \(m^{-p}=\frac{1}{m^{p}}\). Поэтому получение \(m^{-\frac{9}{14}}\) корректно и при необходимости можно переписать как \(\frac{1}{m^{\frac{9}{14}}}\). Обратите внимание, что отрицательный показатель не влияет на порядок извлечения корня, он лишь инвертирует основание.

3) \(\sqrt[6]{5a^5}=5^{\frac{1}{6}}a^{\frac{5}{6}}\). Корень n-й степени является мультипликативным по отношению к произведению положительных множителей: \(\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\). Применяем это к \(x=5\) и \(y=a^5\), получая \(\sqrt[6]{5}\cdot\sqrt[6]{a^5}=5^{\frac{1}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}\). Дробные показатели показывают, что к числу \(5\) применён шестой корень, а к \(a^5\) применён шестой корень, что эквивалентно делению показателя \(5\) на \(6\).

4) \(\sqrt[4]{x+y}=(x+y)^{\frac{1}{4}}\). Для суммы под корнем обязательны скобки при переходе к дробной степени, поскольку операция корня (как и возведения в степень) распространяется на весь аргумент целиком. Здесь мы не можем распределять корень по сумме, так как \(\sqrt[n]{x+y}\neq\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}\) вообще говоря. Поэтому единственно корректная запись в виде степени: \((x+y)^{\frac{1}{4}}\), где показатель \(\frac{1}{4}\) отражает четвертую степень корня.

5) \(\sqrt[13]{0,3^8}=(0{,}3)^{\frac{8}{13}}\). Сначала распознаём форму \(\sqrt[n]{x^m}\) с \(x=0{,}3\), \(m=8\), \(n=13\). По правилу получаем показатель \(\frac{m}{n}\), то есть \((0{,}3)^{\frac{8}{13}}\). При необходимости можно понимать это как последовательность операций: возведение \(0{,}3\) в восьмую степень, затем извлечение тринадцатого корня, либо наоборот, извлечение корня тринадцатой степени из \(0{,}3\) и последующее возведение результата в степень \(8\); эти операции коммутируют благодаря правилу \((x^{m})^{\frac{1}{n}}=x^{\frac{m}{n}}\).