ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 23.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:
1) \(8^{\frac{1}{3}}\); 2) \(10\,000^{\frac{1}{4}}\); 3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\); 4) \(0{,}125^{\frac{2}{3}}\)?

1) \(8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2^{3\cdot\frac{1}{3}}=2^1=2\)

2) \(10000^{\frac{1}{4}}=(10^4)^{\frac{1}{4}}=10^{4\cdot\frac{1}{4}}=10^1=10\)

3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=(4)^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}=2^{2\cdot\frac{3}{2}}=2^3=8\)

4) \(0{,}125^{-\frac{2}{3}}=\left(\frac{125}{1000}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\frac{5^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\frac{5}{10}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4\)

1) Рассмотрим корень третьей степени из восьмёрки: \(8^{\frac{1}{3}}\). Представим число \(8\) как степень двойки: \(8=2^3\). Тогда по свойству степеней \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) получаем \((2^3)^{\frac{1}{3}}=2^{3\cdot\frac{1}{3}}=2^1\). Показатель \(3\cdot\frac{1}{3}\) равен \(1\), поэтому результат равен \(2\). Иными словами, мы нашли число, куб которого даёт \(8\), и это \(2\), поскольку \(2^3=8\).

2) Рассмотрим корень четвёртой степени из десяти тысяч: \(10000^{\frac{1}{4}}\). Число \(10000\) представляется как \(10^4\) (четыре нуля после единицы). Применяем то же свойство степеней: \((10^4)^{\frac{1}{4}}=10^{4\cdot\frac{1}{4}}=10^1\). Показатель упрощается до \(1\), следовательно, результат равен \(10\). Это соответствует идее: найти число, четвёртая степень которого равна \(10000\); таким числом является \(10\), так как \(10^4=10000\).

3) Рассмотрим выражение с отрицательной дробной степенью: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}\). Сначала используем правило отрицательного показателя \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), применённое в обратном направлении: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=\left(4\right)^{\frac{3}{2}}\). Далее раскладываем \(4\) как \(2^2\): \((2^2)^{\frac{3}{2}}=2^{2\cdot\frac{3}{2}}=2^3\). Показатель упрощается к \(3\), поэтому получаем \(2^3=8\). Интерпретационно, степень \(\frac{3}{2}\) означает сначала корень второй степени, затем куб, либо наоборот, и итог эквивалентен \(8\).

4) Рассмотрим десятичную дробь в отрицательной дробной степени: \(0{,}125^{-\frac{2}{3}}\). Преобразуем \(0{,}125\) к дроби: \(0{,}125=\frac{125}{1000}\). Тогда \(\left(\frac{125}{1000}\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(\frac{5^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}}\), так как \(125=5^3\) и \(1000=10^3\). Применяя свойство степеней для дроби, получаем \(\left(\frac{5}{10}\right)^{-2}\), поскольку \(\left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n}\) и \(3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-2\). Упрощаем дробь \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), тогда \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2\) по правилу отрицательного показателя. Итог \(2^2=4\).