ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой \(a_n = 7n + 2\). Является ли членом этой последовательности число: 1) 149; 2) 47? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

1) \(a_n = 7n + 2 = 149\)
\(7n = 147\)
\(n = 21 \in \mathbb{N}\)
Ответ: 21.

2) \(a_n = 7n + 2 = 47\)
\(7n = 45\)
\(n = \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7} \notin \mathbb{N}\)
Ответ: нет.

Рассмотрим последовательность, определяемую формулой \(a_n = 7n + 2\), где \(n\) — натуральное число, то есть \(n = 1, 2, 3, \ldots\). Требуется выяснить, присутствует ли в данной последовательности число 149, то есть существует ли такое натуральное \(n\), что \(a_n = 149\). Для этого подставим заданное значение: \(7n + 2 = 149\). Чтобы найти искомое \(n\), сначала вычтем 2 из обеих частей уравнения: \(7n = 149 — 2\), получаем \(7n = 147\). Теперь делим обе стороны на 7: \(n = \frac{147}{7}\). Результат деления — целое число \(n = 21\). Поскольку \(n = 21\) — натуральное число, это означает, что число 149 действительно входит в последовательность, и занимает 21-е место.

Аналогично проверим, встречается ли число 47 в данной последовательности. Подставляем его в формулу: \(7n + 2 = 47\). Снова вычитаем 2: \(7n = 47 — 2\), получаем \(7n = 45\). Делим обе стороны на 7: \(n = \frac{45}{7}\). В результате деления получаем дробное число \(n = 6 \frac{3}{7}\), которое не является натуральным, так как натуральные числа — это только целые положительные числа. Следовательно, число 47 не встречается ни на одном месте в последовательности, и множество допустимых \(n\) для этого случая — \(\emptyset\).

В общем случае, чтобы определить, присутствует ли заданное число \(a\) в последовательности, нужно решить уравнение \(7n + 2 = a\) относительно \(n\). После преобразования получаем \(n = \frac{a — 2}{7}\). Если результат — натуральное число, то \(a\) присутствует в последовательности, если же результат — нецелое или отрицательное число, то такого члена нет. Например, для \(a = 149\) вычисления дают \(n = \frac{149 — 2}{7} = \frac{147}{7} = 21\), что является натуральным числом, а для \(a = 47\) получаем \(n = \frac{47 — 2}{7} = \frac{45}{7} = 6 \frac{3}{7}\), что не натуральное число, поэтому 47 отсутствует в последовательности.

Для большей наглядности можно оформить результаты проверки в таблице:

Таким образом, для любого числа, чтобы определить его наличие в последовательности, всегда нужно выразить \(n\) через формулу \(n = \frac{a_n — 2}{7}\) и проверить, является ли результат натуральным числом. Если нет — множество решений равно \(\emptyset\).