ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
1) 2, 9, 28, 65, 126, …;
2) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, …\);
3) 1, 2, \(\frac{1}{3}\), 4, \(\frac{1}{5}\), 6, \(\frac{1}{7}\), …;
4) -1, 1, 3, 3, 3, … .

1) 2; 9; 28; 65; 126; …
2 = 1^{3} + 1; 9 = 2^{3} + 1; 28 = 3^{3} + 1; 65 = 4^{3} + 1; 126 = 5^{3} + 1
\(a_{n} = n^{3} + 1\)

2) \(\frac{1}{2}; \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{1}{20}; \frac{1}{30}; …\)
\(\frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}; \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3}; \frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4}; \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5}; \frac{1}{30} = \frac{1}{5 \cdot 6}\)
\(a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}\)

3) 1; 2; \(\frac{1}{3}\); 4; \(\frac{1}{5}\); 6; \(\frac{1}{7}\); …
1 = 1^{-1}; 2 = 2^{1}; \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\); 4 = 4^{1}; \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\); 6 = 6^{1}; \(\frac{1}{7} = 7^{-1}\)
\(a_{n} = n^{(-1)^{n}}\)

4) -1; 1; 3; 3; 3; …
-1 = 1 — |1-3|; 1 = 2 — |2-3|; 3 = 3 — |3-3|; 3 = 4 — |4-3|; 3 = 5 — |5-3|
\(a_{n} = n — |n-3|\)

1)
Рассмотрим последовательность: 2; 9; 28; 65; 126; …
Посчитаем разности между соседними членами:
9 — 2 = 7, 28 — 9 = 19, 65 — 28 = 37, 126 — 65 = 61
Эти разности не образуют арифметическую или геометрическую прогрессию.
Пробуем выразить члены через кубы:
2 = 1^{3} + 1
9 = 2^{3} + 1
28 = 3^{3} + 1
65 = 4^{3} + 1
126 = 5^{3} + 1
Следовательно, формула n-го члена:
\(a_{n} = n^{3} + 1\)

2)
Рассмотрим последовательность: \(\frac{1}{2}; \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{1}{20}; \frac{1}{30}; …\)
Преобразуем знаменатели:
2 = 1 \cdot 2
6 = 2 \cdot 3
12 = 3 \cdot 4
20 = 4 \cdot 5
30 = 5 \cdot 6
Каждый член последовательности можно записать как:
\(\frac{1}{n(n+1)}\), где n = 1, 2, 3, …
Проверим:
При n = 1: \(\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}\)
При n = 2: \(\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\)
При n = 3: \(\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}\)
Формула n-го члена:
\(a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}\)

3)
Рассмотрим последовательность: 1; 2; \(\frac{1}{3}\); 4; \(\frac{1}{5}\); 6; \(\frac{1}{7}\); …
Чередуются целые числа и их обратные.
1 = 1^{-1}
2 = 2^{1}
\(\frac{1}{3} = 3^{-1}\)
4 = 4^{1}
\(\frac{1}{5} = 5^{-1}\)
6 = 6^{1}
\(\frac{1}{7} = 7^{-1}\)
Если n нечётное, то степень -1, если чётное — степень 1.
Формула n-го члена:
\(a_{n} = n^{(-1)^{n}}\)

4)
Рассмотрим последовательность: -1; 1; 3; 3; 3; …
Посчитаем разности:
1 — (-1) = 2
3 — 1 = 2
3 — 3 = 0
3 — 3 = 0
Пробуем выразить через модуль:
-1 = 1 — |1-3|
1 = 2 — |2-3|
3 = 3 — |3-3|
3 = 4 — |4-3|
3 = 5 — |5-3|
Формула n-го члена:
\(a_{n} = n — |n-3|\)