ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 4, a_{n+1} = [\sqrt{a_n}]\). Найдите \(a_{1000}\).

Дана последовательность: \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = \left\lfloor \sqrt{a_n} \right\rfloor\).

Вычислим первые члены:

\(a_2 = \left\lfloor \sqrt{4} \right\rfloor = 2\),

\(a_3 = \left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1\).

Если \(a_n = 1\), то \(a_{n+1} = \left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = 1\).

Значит, начиная с \(a_3\), все члены равны 1.

Ответ: \(a_{1000} = 1\).

1. Дана числовая последовательность, где первый член равен \(a_1 = 4\), а каждый следующий член определяется по формуле \(a_{n+1} = \left\lfloor \sqrt{a_n} \right\rfloor\). Здесь \(\left\lfloor x \right\rfloor\) означает целую часть числа \(x\).

2. Найдём второй член последовательности: \(a_2 = \left\lfloor \sqrt{a_1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4} \right\rfloor = 2\).

3. Теперь вычислим третий член: \(a_3 = \left\lfloor \sqrt{a_2} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1\).

4. Посчитаем четвёртый член: \(a_4 = \left\lfloor \sqrt{a_3} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = 1\).

5. Заметим, что начиная с \(a_3\), последовательность перестала изменяться и стала равна 1.

6. Проверим пятый член: \(a_5 = \left\lfloor \sqrt{a_4} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = 1\).

7. Видно, что для любого \(n \geq 3\) выполняется \(a_n = 1\).

8. Следовательно, \(a_{1000}\) тоже равен 1, так как последовательность стабилизировалась.

9. Таким образом, ответ на задачу: \(a_{1000} = 1\).

10. Итог: начиная с третьего члена, все элементы последовательности равны единице, поэтому \(a_{1000} = 1\).