ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой \(n\)-го члена. Задайте её рекуррентно:

1) \(a_n = 2n — 3\);

2) \(a_n = \frac{n}{n+2}\);

3) \(a_n = n^2\).

1) \(a_n = 2n — 3\), \(a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = -1\), \(a_{n+1} = 2(n+1) — 3 = 2n — 3 + 2 = a_n + 2\)

Ответ: \(a_1 = -1\), \(a_{n+1} = a_n + 2\)

2) \(a_n = \frac{n}{n+2}\), \(a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\),
\(a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}\),
\(a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{3 — a_n}\)

Ответ: \(a_1 = \frac{1}{3}\), \(a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{3 — a_n}\)

3) \(a_n = n^2\), \(a_1 = 1^2 = 1\),
\(a_{n+1} = (n+1)^2 = (\sqrt{a_n} + 1)^2\)

Ответ: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^2\)

1) Последовательность задана формулой \(a_n = 2n — 3\). Для начала найдём первый член, подставив \(n = 1\):
\(a_1 = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1\).

Теперь найдем выражение для следующего члена \(a_{n+1}\), подставив \(n+1\) вместо \(n\):
\(a_{n+1} = 2(n+1) — 3 = 2n + 2 — 3 = 2n — 1\).

Чтобы выразить \(a_{n+1}\) через \(a_n\), вычтем \(a_n\) из \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} — a_n = (2n — 1) — (2n — 3) = 2\).

Следовательно,
\(a_{n+1} = a_n + 2\).

Ответ: \(a_1 = -1\), \(a_{n+1} = a_n + 2\).

2) Последовательность задана формулой \(a_n = \frac{n}{n+2}\). Найдём первый член при \(n=1\):
\(a_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\).

Следующий член:
\(a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}\).

Выразим \(a_{n+1}\) через \(a_n\). Для этого сначала запишем \(a_n\) и \(a_{n+1}\) в виде:
\(a_n = \frac{n}{n+2} = 1 — \frac{2}{n+2}\),
\(a_{n+1} = \frac{n+1}{n+3} = 1 — \frac{2}{n+3}\).

Обозначим \(1 — a_n = \frac{2}{n+2}\) и \(1 — a_{n+1} = \frac{2}{n+3}\).

Тогда:
\(\frac{2}{n+3} = \frac{2}{(n+2) + 1} = \frac{2}{\frac{2}{1 — a_n} + 1} = \frac{2(1 — a_n)}{3 — a_n}\).

Отсюда:
\(1 — a_{n+1} = \frac{2(1 — a_n)}{3 — a_n}\),
значит
\(a_{n+1} = 1 — \frac{2(1 — a_n)}{3 — a_n} = \frac{3 — a_n — 2 + 2a_n}{3 — a_n} = \frac{1 + a_n}{3 — a_n}\).

Ответ: \(a_1 = \frac{1}{3}\), \(a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{3 — a_n}\).

3) Последовательность задана формулой \(a_n = n^{2}\). Найдём первый член:
\(a_1 = 1^{2} = 1\).

Следующий член:
\(a_{n+1} = (n+1)^{2}\).

Выразим \(a_{n+1}\) через \(a_n\), заметив, что \(n = \sqrt{a_n}\), тогда:
\(a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^{2}\).

Ответ: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = (\sqrt{a_n} + 1)^{2}\).