ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой \(n\)-го члена. Задайте её рекуррентно:

1) \(a_n = n\);

2) \(a_n = \frac{1}{n+1}\);

3) \(a_n = \sqrt{n}\).

1) \(a_n = n\)

\(a_1 = 1\)

\(a_{n+1} = a_n + 1\)

2) \(a_n = \frac{1}{n+1}\)

\(a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\)

\(a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2} = \frac{a_n}{1 + a_n}\)

3) \(a_n = \sqrt{n}\)

\(a_1 = \sqrt{1} = 1\)

\(a_{n+1} = \sqrt{n+1} = \sqrt{a_n^{2} + 1}\)

1) Последовательность задана формулой \(a_n = n\). Для начала определим первый член: \(a_1 = 1\). Чтобы найти следующий член последовательности, заметим, что каждый следующий элемент на 1 больше предыдущего. Значит, рекуррентное соотношение будет: \(a_{n+1} = a_n + 1\).

2) Последовательность задана формулой \(a_n = \frac{1}{n+1}\). Первый член вычисляем: \(a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\). Теперь выразим следующий член через предыдущий. Из формулы для \(a_n\) видно, что \(a_n = \frac{1}{n+1}\), значит \(n+1 = \frac{1}{a_n}\). Тогда следующий член будет равен \(a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2} = \frac{1}{\frac{1}{a_n} + 1} = \frac{a_n}{1 + a_n}\).

3) Последовательность задана формулой \(a_n = \sqrt{n}\). Первый член равен \(a_1 = \sqrt{1} = 1\). Чтобы выразить следующий член через предыдущий, заметим, что \(a_n = \sqrt{n}\) значит \(a_n^{2} = n\). Следовательно, \(a_{n+1} = \sqrt{n + 1} = \sqrt{a_n^{2} + 1}\). Таким образом, рекуррентное соотношение: \(a_{n+1} = \sqrt{a_n^{2} + 1}\).