ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие значения \(a\), при которых последовательность является стационарной:

1) \(x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 6\);

2) \(x_1 = a, x_{n+1} = x_n^2 — 3x_n + 5\)?

1) \(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 6\)
Последовательность стационарна, если \(x_{n+1} = x_n = a\). Тогда
\(a = a^2 — 4a + 6\),
\(a^2 — 5a + 6 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).
Корни:
\(a_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\),
\(a_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).
Ответ: 2; 3.

2) \(x_1 = a, \quad x_{n+1} = x_n^2 — 3x_n + 5\)
Последовательность стационарна, если \(x_{n+1} = x_n = a\). Тогда
\(a = a^2 — 3a + 5\),
\(a^2 — 4a + 5 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4\).
Так как \(D < 0\), корней нет.
Ответ: нет.

1) Последовательность задана формулой \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^2 — 4x_n + 6\). Чтобы найти значения \(a\), при которых последовательность стационарна, нужно, чтобы при некотором \(a\) выполнялось равенство \(x_{n+1} = x_n = a\).

2) Подставим \(x_n = a\) в формулу:
\(a = a^2 — 4a + 6\).

3) Переносим все члены в одну сторону уравнения:
\(a^2 — 4a + 6 — a = 0\),
то есть
\(a^2 — 5a + 6 = 0\).

4) Решаем квадратное уравнение \(a^2 — 5a + 6 = 0\) с помощью дискриминанта.
Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
Вычисляем:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).

5) Найдем корни уравнения:
\(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\).

6) Получаем два корня:
\(a_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\),
\(a_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

7) Значит, при \(a=2\) и \(a=3\) последовательность стационарна.

8) Теперь рассмотрим вторую последовательность: \(x_1 = a\), \(x_{n+1} = x_n^2 — 3x_n + 5\). Аналогично ищем \(a\), при котором \(x_{n+1} = x_n = a\).

9) Подставляем \(x_n = a\) в формулу:
\(a = a^2 — 3a + 5\).

10) Переносим все в одну сторону:
\(a^2 — 3a + 5 — a = 0\),
то есть
\(a^2 — 4a + 5 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4\).

Так как дискриминант отрицательный, корней нет, значит стационарных значений \(a\) для второй последовательности не существует.

Ответ:
1) 2; 3
2) нет