ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сто первый член последовательности \((a_n)\), если \(a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = a_{n+1} — a_n\).

Дана последовательность \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{a_n}\).

Проверим период:

\(a_3 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1} = 2\),

\(a_4 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{2} = 1\),

\(a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{1}{2}\),

\(a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}\),

\(a_7 = \frac{a_6}{a_5} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1\),

\(a_8 = \frac{a_7}{a_6} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\).

Получаем, что \(a_7 = a_1\), \(a_8 = a_2\), значит период равен 6.

Теперь найдём \(a_{101}\):

\(101 \bmod 6 = 5\), значит \(a_{101} = a_5 = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(a_{101} = \frac{1}{2}\).

1. Дана последовательность \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), и для \(n \geq 1\) выполняется рекуррентное соотношение \(a_{n+2} = a_{n+1} — a_n\).

2. Найдём первые несколько членов последовательности:

\(a_3 = a_2 — a_1 = 2 — 1 = 1\),

\(a_4 = a_3 — a_2 = 1 — 2 = -1\),

\(a_5 = a_4 — a_3 = -1 — 1 = -2\),

\(a_6 = a_5 — a_4 = -2 — (-1) = -2 + 1 = -1\),

\(a_7 = a_6 — a_5 = -1 — (-2) = -1 + 2 = 1\),

\(a_8 = a_7 — a_6 = 1 — (-1) = 1 + 1 = 2\),

\(a_9 = a_8 — a_7 = 2 — 1 = 1\).

3. Заметим, что \(a_7 = a_1\), \(a_8 = a_2\), \(a_9 = a_3\). Значит последовательность повторяется с периодом 6.

4. Для поиска \(a_{101}\) нужно найти остаток от деления 101 на 6:

\(101 \div 6 = 16\) целых и остаток \(5\),

то есть \(101 \bmod 6 = 5\).

5. Значит \(a_{101} = a_5\).

6. Из пункта 2 известно, что \(a_5 = -2\).

7. Следовательно, \(a_{101} = -2\).